mateforum.ro

Determinati \( f:N^{*}\to N^{*} \) care satisface urmatoarea relatie:
\( xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2), \forall x,y \in N \).

Olimpiada Canada 2002

Se observa destul de usor ca functia constanta verifica ipotezele problemei.
Sa presupunem prin reducere la absurd ca exista \( x<y \) astfel incat
\( f(x)<f(y) \). Atunci este clar ca

\( f(x)< \frac{xf(x)+yf(y)}{x+y}< f(y) \).

Avem ca \( f(x)< f(x^{2}+y^{2})<f(y) \), de unde rezulta ca \( f(x)< f(x^2+(x^2+y^2)^{2})<f(x^2+y^2)<f(y) \). Daca tot iteram asa, vom avea la un moment dat un sir infinit descrescator de numere naturale si cum acel sir nu este constant, avem deci o contradictie.
Prin urmare, singurele functii care verifica ipotezele problemei noastre sunt cele constante.

Pp. ca exista o solutie care nu e constanta.
Observam ca daca punem \( x=y \) in relatia initiala obtinem \( f(x)=f(2x^2) \) pentru orice \( x \).
Punand in relatia initiala \( y=1 \) rezulta \( x+1 | xf(1)+f(x) \Rightarrow x+1|f(x)-f(1) \).

Fie \( k>1 \) astfel incat \( f(k)\neq f(1)\Rightarrow k+1|f(k)-f(1) \).
Cum \( f(k)=f(2k^2)\Rightarrow 2k^2+1|f(k)-f(1) \).
\( f(8k^4)=f(2k^2)=f(k)\Rightarrow 8k^4+1|f(k)-f(1) \).
si tot asa si tot asa rezulta ca \( f(k)-f(1) \) se divide cu o infinitate de numere naturale. Contradictie.

Extindem problema la numere reale.
\( xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2) \)

Trecem la coordonate polare si avem:
\( x=r\sin\alpha \)
\( y=r\cos\alpha \)
\( r\sin\alpha f(r\cos\alpha)+r\cos\alpha f(r\sin\alpha)=r(\sin\alpha+\cos\alpha)f(r^2) \)

Dupa calcule avem:
\( f(r\cos\alpha)+f(r\sin\alpha)=f(r^2)(1+\tan\alpha) \)
(de aici putem sa observam ca pe un cerc functia ramane constanta)
Daca alegem \( \alpha={45}^{\circ} \), atunci avem
\( f(r^2)=f\left(\frac{r}{2}\right) \) notam aceasta relatie cu (2)

Consideram sirul definit recursiv:
1) \( a_0=r^2 \)
2) \( a_n=\frac{ \sqrt{ a_{n-1} } }{2} , \forall n\geq 1 \)

Se observa ca \( \lim_{n\to \infty} a_n = 0 \).

Rescriem (2) folosind sirul \( a_n \):
\( f(a_{n-1}) = f(a_n) \), deci
\( f(a_0) = f(a_1) = ... = f(a_n)=... =\lim_{n\to \infty}{f(a_n)}=f(0) \).

Toate calculele au fost facute pentru un \( r \) generic, deci \( f(r)=f(0)\forall r\in R \), deci functiile care satisfac ecuatia functionala sunt toate constante.
\( \qed \)


P.S. Daca am gresit undeva, va rog spuneti-mi si mie.

Am o intrebare: se poate extinde domeniul unei ecuatii functionale fara sa-i afectam proprietatile? Si eu mi-as fi dorit de multe ori sa fac asta.... la ecuatii definite pe \( \mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{N}^* \).

Am gresit demonstratia.
Functioneaza pentru R, dar nu functioneaza pentru N.
In N nu se poate gasi intotdeauna unghi de 45 grade pentru punctul (x,y).

Am gresit relatia (2) si de acolo s-a dus toata demonstratia de rapa. Am facut-o din nou insa.

\( f(r^2)=f(r\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \) o notam cu (2)

Acum daca iteram asta avem la iteratia a n-a
\( f(r^2)=f(r^{-2^n}\cdot 2^{-\frac{n}{2}}){ \)
iar daca facem limita ei ajungem la \( f(r^2)=0 \).

Motivul pentru care nu merge pe N este ca in (2) argumentul lui f din membrul
stang nu e niciodata in N.

In mod ciudat, (2) ar trebui sa coincida cu ce a scris Dragos \( f(x)=f(2x^2) \) insa m-am uitat la ea de nu stiu cate ori si nu prea seamana. Nu inteleg de ce.