mateforum.ro

Fie K un corp cu 8 elemente. Sa se demonstreze ca exista \( a\in K \) astfel incat \( a^3+a+1=0 \).

\( 0=x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)=(x-1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1) \). Luam x diferit de 1 si cum K este corp obtine ca \( x^3+x+1=0 \) sau \( x^3+x^2+1=0 \). Daca \( x^3+x^2+1=0 \), atunci \( (x+1)^3+(x+1)^2+1=0 \), deci elementul cautat este \( 1+a \).