mateforum.ro

Se considera o multime de \( 2010 \) vectori ale caror lungimi formeaza multimea \( \{1,2,3,\dots,2010\} \) si care au directiile paralele cu doua drepte concurente date. Sa se arate ca suma acestor vectori nu este egala cu vectorul nul, indiferent de directiile si sensul lor.

Ion Savu

Asta a fost dupa parerea mea cea mai usoara problema din concurs.
Pe ambele directii suma vectorilor trebuie sa fie egala cu \( \vec{0} \). Deci suma lungimilor lor este un numar par, pe ambele directii.
Dar \( 1+2+...+2010=1005\cdot 2011 \)(numar impar)
De aici rezulta evident ca acest lucru nu este posibil.