Page 1 of 1
Relatie de divizibilitate
Posted: Thu Jan 08, 2009 9:01 pm
by alex2008
Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n , avem : \( 3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1} \) este divizibil cu \( 17 \) .
Posted: Fri Jan 09, 2009 6:37 pm
by red_dog
Pentru n=0 se verifica. Presupunem adevarat pentru n si demonstram pentru n+1.
Avem \( 3\cdot 5^{2n+3}+2^{3n+4}=3\cdot 25\cdot 5^{2n+1}+8\cdot 2^{3n+1}=8(3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1})+51\cdot 5^{2n+1} \)
Folosind ipoteza inductiei si faptul ca 51 este divizibil cu 17, rezulta ca ultima expresie este divizibila cu 17, deci se verifica si pentru n+1.
Problema de manual la capitolul "Inductie".
Posted: Mon Feb 09, 2009 6:48 pm
by Virgil Nicula
alex2008 wrote: Sa se demonstreze ca pentru orice \( n\in \mathbb N \) avem \( 3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1} \) este divizibil cu \( 17\ . \)
Metoda I (inductie). Notam \( E_n=3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1}\ ,\ n\in\mathbb N\ . \) Deci \( E_{n+1}=3\cdot 5^{2n+3}+2^{3n+4}= \)
\( 25\cdot \left(3\cdot 5^{2n+1}\right)+8\cdot 2^{3n+1}= \)\( 25\cdot\left(E_n-2^{3n+1}\right)+8\cdot 2^{3n+1}=25E_n-17\cdot 3^{2n+1} \) , adica
\( \underline{\overline{\left\|\ E_{n+1}=25E_n-17\cdot 3^{2n+1}\ \right\|}}\ . \) Se arata usor ca \( E_0=17\ \vdots\ 17 \) si pentru \( (\forall ) n\in \mathbb N \)
avem \( E_n\ \vdots\ 17\ \Longrightarrow\ E_{n+1}\ \vdots\ 17\ . \) In concluzie, pentru orice \( n\in \mathbb N \) avem \( E_n\ \vdots\ 17\ . \)
Metoda II (direct). Notam \( Mp \) - orice multiplu de \( p \) , unde \( p\in\mathbb N\ ,\ p\ge 2\ . \) Se arata usor ca :
\( Mp+Mp=Mp\ ;\ (\forall )\ r\in\mathbb Z \) avem \( r\cdot Mp=Mp\ ;\ (\forall )\ n\in\mathbb N^* \) avem \( (Mp+r)^n=Mp+r^n\ . \)
Asadar, \( E_n=15\cdot 25^n+2\cdot 8^n=15\cdot ( M 17+ 8 )^n+2\cdot 8^n=15\cdot \left(M17+8^n\right)+2\cdot 8^n= \)
\( 15\cdot M17+15\cdot 8^n+2\cdot 8^n=M17+17\cdot 8^n=M17\ . \)