mateforum.ro

Calculati limita \( L=\lim_{x \to 1} \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x}) \cdots (1-\sqrt[n]{x}) }{(1-x)^{n-1}} \).

Subiectul I, Etapa locala 24 Ianuarie 2009, Salaj, clasa a XI-a

Offtopic: Da, aveti dreptate ). Colegii mei cu media 7-8 la clasa au reusit sa-l faca (din cate am inteles).

Sa nu uitam ca trebuie tinut cont si de nivelul judetului in care se desfasoara etapa locala. Eu va inteleg nemultumirea, insa nu putem compara judetul Salaj cu Bucuresti/ Cluj/ Constanta/ Iasi (centre universitare, in care sunt convins ca la un asemenea subiect erau vreo 5-10 punctaje de 28). Si asa participarea la olimpiade e din ce in ce mai scazuta, iar daca toate subiectele ar fi fost de grade mai inalte de dificutate, atunci in Salaj la etapa locala ar fi concurat la fel de multi elevi ca la etapa judeteana... mai exact 2.

Fie k natural.

Avem ca

\( \frac{1-x^{\frac{1}{k}}}{(1-x)}=\frac{1-x^{\frac{1}{k}}}{(1-x^{\frac{1}{k}})(x^{\frac{k-1}{k}}+...+x^{\frac{1}{k}}+1)}=\frac{1}{x^{\frac{k-1}{k}}+...+x^{\frac{1}{k}}+1} \),

de unde rezulta ca

\( \lim_{x\to 1}\frac{1-x^{\frac{1}{k}}}{(1-x)}=\frac{1}{k} \),

de unde rezulta ca

\( L=\frac{1}{k!} \).