Page 1 of 1
Matrice inversabila
Posted: Sat Jan 24, 2009 4:26 pm
by Andrei Velicu
Fie \( A \) o matrice de ordin \( n \) cu elemente reale, avand proprietatea ca \( A^{2007}+A^{2008}+A^{2009}=O_n \). Notam \( B=I_n+A+A^2 \). Sa se demonstreze ca matricea \( I_n-AB \) este inversabila.
GMB, subiectul 1, OLM 2009 Constanta
Posted: Sat Jan 24, 2009 5:07 pm
by Radu Titiu
O problema clasica, mai generala: daca \( X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) este o matrice nilpotenta (i.e. exista k natural a.i. \( X^k=0 \)), atunci \( \det (X+I_n)=1 \).
Posted: Sun Jan 25, 2009 1:04 am
by Marius Mainea
Radu Titiu wrote:O problema clasica, mai generala: daca \( X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) este o matrice nilpotenta (i.e. exista k natural a.i. \( X^k=0 \)), atunci \( \det (X+I_n)=1 \).
Daca
\( \lambda \) este o valoare proprie a lui X atunci
\( \lambda^k=0 \) deci X are toate valorile proprii nule
Asadar
\( P(y)=\det(yI_n-X)=y^n \) si atunci
\( P(-1)=\det(-I_n-X)=(-1)^n \) si de aici concluzia.
Re: Matrice inversabila
Posted: Sun Jan 25, 2009 1:11 am
by Marius Mainea
Andrei Velicu wrote:Fie \( A \) o matrice de ordin \( n \) cu elemente reale, avand proprietatea ca \( A^{2007}+A^{2008}+A^{2009}=O_n \). Notam \( B=I_n+A+A^2 \). Sa se demonstreze ca matricea \( I_n-AB \) este inversabila.
GMB, subiectul 1, OLM 2009 Constanta
Se arata ca
\( (AB)^{2007}=O_n \) apoi
\( I_n=I_n-O_n=I_n-(AB)^{2007}=(I_n-AB)(I_n+AB+...+(AB)^{2006}) \)