Inegalitate
Posted: Fri Jan 30, 2009 10:53 pm
Sa se demonstreze ca daca numerele \( a,b,c \) sunt reale cu \( a^2+b^2+c^2=9 \), atunci \( 3\min \{a,b,c\}\leq1+abc \).
Cu aceasta ocazie va mentionez sase probleme propuse (de mine) in revista CRUX Mathematicorum (CANADA) :
\( \odot\ \underline{\overline{\left|\ a^2\ +\ b^2\ +\ c^2\ =\ 9\ \Longrightarrow\ 3\ \min\ \{\ a\ ,\ b\ ,\ c\ \}\ \le\ 1\ +\ abc\ \right|}} \) (problema 3241/4/2007).
\( \odot\ \ \)Se considera multimea \( A \) a numerelor complexe diferite de \( 0 \) pentru care \( \left|\ z\ +\ \frac 1z\ \right|\ \le\ 2\ . \)
Sa se demonstreze ca pentru orice \( n\in\mathbb{N}^* \) avem \( \alpha^n\in A\ \Longrightarrow\ \alpha\in A \) (problema 3242/4/2007).
\( \odot\ \ \)Sa se arate ca pentru oricare doua numere reale pozitive \( a>0 \) , \( b>0 \) , \( a\ne b \) avem
\( \underline {\overline {\left|\ a^b\ +\ b^a\ \ge\ 1\ +\ ab\ +\ (1-a)\ (1-b)\ \min\ \{\ 1\ ,\ ab\ \}\ \right|}} \) (problema 3260/5/2007).
\( \odot\ \ \)Fie numerele pozitive \( x \) , \( y \) , \( z \) pentru care \( xy+yz+zx+xyz=4\ . \) Sa se arate ca :
\( 1.\ \ \)Exista un triunghi \( ABC \) pentru care \( \left|\ \begin{array}{c}
a=(y+2)(z+2)\\\\
b=(z+2)(x+2)\\\\
c=(x+2)(y+2)\end{array}\ \right|\ . \)
\( 2.\ \ \)Exista inegalitatea \( \underline {\overline {\left|\ 1\ +\ x\ +\ y\ +\ z\ \le\ xyz\ +\ \frac 1x\ +\ \frac 1y\ +\ \frac 1z\ \right|}} \) (problema 3287/7/2007).
\( \odot\ \ \)Sa se determinte toate punctele \( P \) din planul unui triunghi isoscel dat \( ABC \) , \( AB=AC \) astfel
incat oricare ar fi dreapta \( d \) care trece prin \( P \) suma \( \delta^2_d(A)+\delta^2_d(B)+\delta^2_d(C) \) este constanta.
Am notat \( \delta_d(X) \) - distanta de la punctul \( X \) la dreapta \( d \) (problema 3291/7/2007).
\( \odot\ \ \) Se considera un triunghi cu cercul circumscris \( C(O,R) \) si cercul inscris \( C(I,r)\ . \)
Notam \( \left|\ \begin{array}{c}
M\in OI\ \cap\ AB\\\\
N\in OI\ \cap\ AC\end{array}\ \right|\ . \) Aratati ca \( BMNC \) este inscriptibil \( \Longleftrightarrow\ h_a=R+r \)
si in acest caz \( \frac {1}{MN}=\frac 1a+\frac {1}{b+c}\ . \) (problema 3279/8/2007).