mateforum.ro

Determinati multimea S a numerelor naturale \( n \) nenule care indeplinesc conditia : pentru orice \( a,b \) reale nenule exista numerele reale \( x_1,x_2,...,x_n \) astfel incat \( \sum_{k=1}^{n}x_k=a \) si \( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}=b \).

Adriana Nistor wrote:Determinati multimea S a numerelor naturale \( n \) nenule care indeplinesc conditia : pentru orice \( a,b \) reale nenule exista numerele reale \( x_1,x_2,...,x_n \) astfel incat \( \sum_{k=1}^{n}x_k=a \) si \( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}=b \).

Pentru a=b=1 sistemul \( \left{\begin{array}{cc} x_1+x_2=a\\\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=b\end{array} \) nu are solutie, asadar \( n\ge 3 \)

Deoarece pentru \( n\ge3 \) sistemul din enunt are cel putin o solutie cu\( x_3=x_4=...=x_n \) rezulta ca \( S=\mathbb{N}\setminus\{0,1,2\} \)