mateforum.ro

Demonstrati ca daca sirul \( \frac{p_n}{q_n} \), unde numaratorul si numitorul sunt numere intregi, este convergent la un numar irational, atunci \( q_n \to \infty \) si daca limita nu e 0, atunci si \( p_n \to \infty \).

Daca \( \frac{p_n}{q_n}\longrightarrow a \), \( a>0 \), atunci putem presupune ca \( p_n,q_n \) sunt naturale de la un rang.

Presupunand prin absurd ca \( q_{n} \) nu tinde la \( +\infty \), fie un subsir \( q_{k_{n}}\longrightarrow b\in\mathbb{Z} \) avand termeni naturali deci este stationar de la un rang \( q_{k_n}=q \) si de aici \( p_{k_n}\longrightarrow p\in\mathbb{Z} \) este convergent, asadar \( \frac{p}{q}=a\in\mathbb{Q} \) fals.

Totdeauna \( a\neq 0 \)deoarece \( a\in\mathbb{R}-\mathbb{Q} \) si atunci evident \( p_n\longrightarrow+\infty \)

Faptul ca \( q_{n} \to \infty \) este un rezultat clasic folosit in demonstratia faptului ca functia lui Riemann \( f : (0,1] \to \mathbb{R}, \) \( f(x)=\left\{0, \ x \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}\\1/q, \ x=p/q, \ p,q \in \mathbb{N}^*, \ (p,q)=1 \) este continua in punctele irationale (si discontinua în punctele rationale).

Si cred ca de aici ar rezulta ca functia lui Riemann este integrabila, deoarece este discontinua pe o multime numarabila (parca criteriul Lebesgue).