mateforum.ro

1. Fie numerele naturale \( m \), \( n \) astfel incat \( (m,n)=1 \).

Sa se arate ca ecuatiile \( z^m=1 \) , \( z^n=1 \) au o singura radacina comuna.

2. Sa se rezolve ecuatia \( (1+iz)^n+(1-iz)^n=(\sqrt {1+z^2})^n \) , unde \( n\in\mathbb{N}^*\ . \)

moldo wrote:1. Fie numerele naturale \( m \) , \( n \) astfel incat \( (m,n)=1 \).

Sa se arate ca ecuatiile \( z^m=1 \), \( z^n=1 \) au o singura radacina comuna.

2. Sa se rezolve ecuatia \( (1+iz)^n+(1-iz)^n=(\sqrt {1+z^2})^n \) , unde \( n\in\mathbb{N}^*\ . \)

La prima problema poti folosi faptul ca \( (m,n)=1\ \Longleftrightarrow\ (\exists )\ \{u,v\}\subset\mathbb Z \) astfel incat \( um+vn=1\ . \)

ATENTIE ! In ceea ce priveste ecuatia de la cel de-al doilea punct, deoarece nu este precizat domeniul in care cautam valorile variabilei \( z \) , la debut se impune sa precizam domeniul maxim de existenta (de sens !) al lui \( z \). Se arata usor ca \( \sqrt {1+z^2} \) are sens daca si numai daca \( 1+z^2 \) este un numar real nenegativ, adica \( z=r\in\mathbb R \) sau \( z=ri \), unde \( |r|\le 1 \)

(Geometric - in planul complex, domeniul maxim de sens este discul trigonometric reunit cu axa \( \mathrm{Ox}\ \) ).

Problema devine rezolvarea a doua ecuatii \( \begin{array}{c}
(1+ri)^n+(1-ri)^n=\sqrt {\left(1+r^2\right)^n}\ ,\ r\in\mathbb R\\\\
(1+r)^n+(1-r)^n=\sqrt {\left(1-r^2\right)^n}\ ,\ |r|\le 1\end{array} \) etc.

Prima ecuatie este echivalenta cu ecuatia \( \alpha ^n+\overline {\alpha}^n=1 \) , unde \( \alpha =\frac {1+ri}{\sqrt {1+r^2}}\ . \) Se observa ca \( |\alpha |=1\ . \)

\( \stackrel {\circ}{(\exists )} \) inseamna "exista si este unic/a sau exista si sunt unici/e". Am retinut notatia de la prof. N. Dinculeanu care obisnuia deseori sa foloseasca simbolurile matematice la care adauga si multe altele personale. De fapt punea pe \( \exists \) un punct ingrosat, dar eu nu am in latex asa ceva iar "amaratul" punct nici nu se vede ...

Tocmai ca \( u,v \) nu sunt unici...

O solutie fara a folosi \( um+vn=1 \).

Consideram \( z_{1}^{m}=1 \) si \( z_{2}^{n}=1 \) \( \Rightarrow z_{1}=\cos\frac{2k_{1}\pi}{m}+i\sin\frac{2k_{1}\pi}{m}, \k_{1}=\overline{0,m-1},\ k_{1}\in \mathbb{Z}, \) \( z_2=\cos\frac{2k_{2}\pi}{n}+i\sin\frac{2k_{2}\pi}{n},\ k_2=\overline{0,n-1},\ k_{2}\in \mathbb{Z}. \)

Pt. ca solutiile sa fie egale trebuie ca
\( \left{\cos\frac{2k_{1}\pi}{m}=\cos\frac{2k_{2}\pi}{n}\\ \sin\frac{2k_{1}\pi}{m}=\sin\frac{2k_{2}\pi}{n} \)
si cum
\( \frac{2k_{1}\pi}{m} \) si \( \frac{2k_{2}\pi}{n}\in[0,2\pi)\Rightarrow \frac{2k_{1}\pi}{m}=\frac{2k_{2}\pi}{n}\Rightarrow k_{1}=\frac{k_{2}m}{n}\in \mathbb{Z} \) \( \Rightarrow n|k_{2}m \) dar cum \( (m,n)=1 \) si cum \( m>k_{2} \) \( \Rightarrow \) daca avem \( k_{2}\neq0 \) atunci \( (k_{2}m,n)=1 \), contradictie \( \Rightarrow k_{2}=0\Rightarrow k_{1}=0\Rightarrow \) unica solutie comuna a celor doua ecuatii este \( z=1 \).

enescu wrote:Tocmai ca \( u,v \) nu sunt unici...

Da, asa-i ! Am si corectat "rapid" ! In afara faptului ca nu aveam nevoie de unicitate.
Dar a fi riguros nu te obliga sa spui neaparat si ceva in plus. Aici trec pe o gluma ... amara.

Relativ la prima problema, \( (m,n)=1\ \Longleftrightarrow \) exista doua numere intregi \( u \) si \( v \) astfel incat \( um+vn=1\ . \)
Presupunem prin absurd ca cele doua ecuatii \( z^m=1 \) si \( z^n=1 \) au o radacina comuna \( a\ne 1\ . \)
Asadar, \( a^1=a^{um+vn}=\left(a^m\right)^u\cdot\left(a^n\right)^v=1 \) , adica \( a=1 \) , ceea ce este absurd.