mateforum.ro

Fie \( \mu \), \( \nu \) masuri pozitive, finite. Atunci :
\( \nu=\nu_a+\nu_s \), cu \( \nu_a(E)=\int_{E}{h\;d\mu},\; \forall E \) masurabila si \( \nu_s \perp\mu \) (i.e. \( \nu_s \) este concentrata pe o multime de masura \( \mu \) nula).

Demonstratia de mai jos apartine lui von Neumann si obtine "la pachet" teorema Radon-Nikodym si descompunerea Lebesgue a unei masuri pozitive, finite.
Vom avea nevoie de urmatoarea:
Lema. Fie \( \mu \) o masura pozitiva, \( f\in L^1(\mu) \) si \( M \) o multime inchisa din planul complex. Daca \( \frac{1}{\mu(E)} \int_{E}{f d\mu}\in M,\; \forall E \) masurabila, cu \( \mu(E)>0 \), atunci \( f(x)\in M \;\mu \)-a.p.t.

Notam \( \rho=\mu+\nu \). Aplicatia :
\( L^2(\rho)\ni f\longrightarrow \int{fd\nu}\in \mathbb{C} \) este o forma liniara si continua pe spatiul Hilbert \( L^2(\rho) \). Liniaritatea este evidenta, iar continuitatea rezulta din urmatorul calcul :
\( |\int{fd\nu}|\le \int{|f|d\nu}\le \int{|f|d\rho}\le (\int{|f|d\rho})^{\frac{1}{2}}\rho(T)^{\frac{1}{2}}=\rho(T)^{\frac{1}{2}}\parallel f\parallel_2 \).
Conform teoremei lui Riesz exista \( g\in L^2(\rho) \) astfel incat :
\( \int{fd\nu}=\int{f\overline{g}d\rho} ,\; \forall f\in L^2(\rho) \).(1)
In particular, pentru \( f=\chi_E \), cu \( E \) masurabila si \( \rho(E)>0 \) obtinem :
\( 0\le \frac{1}{\rho(E)}\int{\overline{g}d\rho}=\frac{\nu(E)}{\rho(E)}\le 1 \) si, conform lemei de la inceput, \( 0\le g \le1\; \rho \)-apt. Daca modificam \( g \) pe o multime de masura \( \rho \) nula, relatia (1) se pastreaza, deci putem pp. ca \( 0\le g \le1 \) peste tot.
Cum \( \rho=\mu+\nu \), din (1) obtinem:
\( \int{f(1-g)d\nu}=\int{fgd\mu}, \;\forall f\in L^2(\rho) \).
Notam \( A:=\{x ; 0\le g(x)<1\} \), \( B=\{x ; g(x)=1\} \) si definim masurile \( \nu_a,\; \nu_s \) prin :
\( \nu_a(E)=\nu(E\cap A) \) , \( \nu_s(E)=\nu(B\cap A) \), \( \forall E \) masurabila.
Cum \( \chi_B\in L^2(\rho) \), rezulta ca \( \int{\chi_B(1-g)d\nu}=\int{\chi_Bgd\mu} \) si din definitia lui B, \( \mu(B)=0 \), adica \( \nu_s\perp \mu \) (\( \nu_s \) este concentrata pe o multime de masura \( \mu \) nula).
Fie \( f= (1+g+...+g^n)\chi_E \), \( E \) masurabila. Rezulta:
\( \int_{E}{(1+g+...+g^n)(1-g)d\nu}= \int_{E}{g(1+g+...+g^n)d\mu}. \)
Avem \( g^{n+1}=0 \) pe \( B \) si \( g^{n+1}\longrightarrow 0 \) pe \( A \), deci:
\( \int_{E}{(1+g+...+g^n)(1-g)d\nu}=\int_{E}{(1-g^{n+1})d\nu}=\int_{E\cap B}{(1-g^{n+1})d\nu}+\int_{E\cap A}{(1-g^{n+1})d\nu}=\nu_a(E) \).
De cealalta parte, conform teoremei de convergenta monotona a lui Lebesgue,
\( \int_{E}{g(1+g+...+g^n)d\mu} \longrightarrow \int_{E}{\frac{g}{1-g}d\mu} \).
In concluzie, \( \nu_a(E)=\int_{E}{hd\mu} \), unde \( h=\frac{g}{1-g} \). Q.E.D.