mateforum.ro

Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia:
\( 2^{[x]}+2^{\{x\}}=2^{x+1} \).

Eu am aplicat inegalitatea mediilor:
\( 2^{[x]}+2^{\{x\}}\geq 2\sqrt{2^{[x]+\{x\}} \).
Dar \( 2^{[x]}+2^{\{x\}}=2^{x+1} \), rezulta ca
\( 2^{x+1}\geq 2\cdot {2^{\frac{x}{2}} \)
\( x \geq\frac {x}{2} \)
\( 2x\geq x=>2x-x\geq0=>x\geq0 \)
Asta inseamna ca ecuatia are ca solutie orice x\( \geq0 \)?
Dar 0 este solutie a ecuatiei, in timp ce 1 sau 2 nu sunt solutii.
Unde am gresit?

Daca notezi \( a=2^{[x]} \) si \( b=2^{\{x\}} \) atunci din relatia din enunt ai \( a+b=2ab \). Adica \( 4ab-2a-2b+1=1 \Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)=1 \). Si de aici stii sa o faci si singura

\( 2b-1>0 \rightarrow 2a-1>0 \). Pentru \( k \geq 0 \) avem
Daca \( [x]=k \Rightarrow 2^{\{x\}+1}-1=\frac{1}{2^{k+1}-1} \), adica \( \{x\}=\log_2 \ \frac{2^{k+1}}{2^{k+1}-1}-1 \) care e negativ pentru \( k\neq 0 \) si 0 pentru \( k=0 \). Deci \( x=0 \) e unica solutie.

Multumesc! Dar metoda mea de ce nu functioneaza? Gresesc undeva?

pai la tine toate numerele pozitive verifica inegalitatea. Asta nu inseamna ca toate numerele pozitive verifica si egalitatea.

Da, gata, am inteles . Multumesc mult!