Page 1 of 1
Sir cu termeni consecutivi primi intre ei (own)
Posted: Sat Feb 07, 2009 5:22 pm
by maxim bogdan
Demonstrati ca oricare \( 2 \) termeni consecutivi ai sirului \( \{\phi_{n}\}_{n\geq 0} \) definit prin:
\( \phi_{0}=0,\phi_{1}=1 \) si \( \phi_{n+1}=m\cdot\phi_{n}-\phi_{n-1},(\forall)n\geq 1, \) unde \( m\in\mathbb{N},\ m>1 \) sunt relativ primi.
Posted: Sat Feb 07, 2009 5:52 pm
by Marius Mainea
Daca d este un divizor comun pentru \( \phi_k \) si \( \phi_{k+1} \), atunci d divide \( \phi_{k-1} \) apoi \( \phi_{k-2} \) pana la d divide \( \phi_{1}=1 \).
Asadar d=1, deci orice doi termeni consecutivi sunt relativi primi.
Posted: Sat Feb 07, 2009 6:47 pm
by maxim bogdan
Scuze, nu ma asteptam sa fie asa de simpla. Solutia mea e ceva mai complicata.
Am dedus-o din problema ceva mai grea:
Sa se demonstreze ca numerele intregi nenegative \( x,y \) satisfac ecuatia \( x^2-mxy+y^2=1 \) (unde \( m \) este un numar intreg dat, mai mare ca \( 1 \)) daca si numai daca \( x \) si \( y \) sunt termeni vecini ai sirului \( \phi_{0}=0,\ \phi_{1}=1,\ \phi_{2}=m,\dots,\phi_{n+1}=m\cdot\phi_{n}-\phi_{n-1},\ (\forall)n\geq 1 \)
pe care o propun spre rezolvare cu aceasta ocazie.
Posted: Sat Feb 07, 2009 7:22 pm
by Marius Mainea
Se arata prin inductie propozitia
\( P(n) :\ \phi_n^2-m\phi_n\phi_{n-1}+\phi_{n-1}^2=1 \)
Reciproc daca \( (x,y) \) cu x>y este o solutie a ecuatiei atunci \( (y,z) \) cu z=my-x este solutie cu y>z si astfel se obtine un sistem finit de numere naturale strict descrescator \( x=x_k>y=x_{k-1}>...>x_1=1>x_0=0 \) astfel incat orice doi termeni consecutivi sunt componentele ale unei solutii ale ecuatiei date,iar ultimii doi sunt exact 1 si 0 si evident \( x=\phi_{k} \) si \( y=\phi_{k-1} \)