Page 1 of 1
Tot cu un cerc
Posted: Thu Feb 19, 2009 7:19 pm
by Beniamin Bogosel
Printr-un punct \( P \) din interiorul unui cerc se duc 3 drepte, astfel incat in jurul lui \( P \) sa se formeze 6 unghiuri de \( 60^\circ \). Se noteaza cu \( A,B,C,D,E,F \) punctele de intersectie ale dreptelor cu cercul, in sens trigonometric. Sa se arate ca \( PA+PC+PE=PB+PD+PF \).
Posted: Mon Feb 23, 2009 8:44 pm
by mihai miculita
Fie A', B' si C' mijloacele diagonalelor [AD], [BE] si respectiv [CF]. Se arata apoi ca:
1. Triunghiului A'B'C' este inscris in cercul de diametru \( [OP] \); (\( O \) fiind centrul cercului circumscris hexagonului ABCDEF).
2. Triunghiul A'B'C' este echilateral;
3. Folosind apoi relatia lui Van Schooten (unul dintre numerele |PA'|, |PB'| si |PC'| este egal cu suma celorlalte doua), se arata ca:
\( |PB|+|PD|+|PF|=\frac{1}{2}(|AD|+|BE|+|CF|)\Rightarrow |PA|+|PC|+|PD|=|PB|+|PD|+|PF|. \)