mateforum.ro

Fie \( f:[0,1] \rightarrow R \) o functie integrabila cu proprietatea ca pentru orice \( x \in [0,1) \) avem:

\( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0. \)

Demonstrati ca pentru orice \( a,b \in (0,1) \) avem:

\( \int_{a}^{b}{f(t)}dt=0. \)

Cristinel Mortici, SHORTLIST ONM 2008

Este un exemplu tipic de problemă cu soluţie simplă "ddacă" rezolvitorul are cunoştinţe în afara programei. Nu cred că ar trebui încurajată proliferarea unor astfel de probleme.

Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati, \( \forall x \in (0,1) \) exista \( n \in N* \) astfel incat \( f \) sa fie continua pe \( (x,x+ \frac {1}{n}) \).
Fie \( F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)}dt=0 \). Atunci, din \( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0 \) avem:

\( \lim_{n\to\infty} \frac {F(x+ \frac {1}{n}) - F(x)}{(x+ \frac {1}{n}) - x} = 0 \) \( \Rightarrow F^\prime (x) = 0 \Rightarrow f(x)=0 \).

Asadar \( f(x)=0 \forall x\in [0,1]-M \), unde \( M \) este cel mult numarabila \( \Rightarrow \forall a,b \in (0,1) \) avem \( \int_{a}^{b}{f(t)}dt=0 \).

bae wrote:

Marius Dragoi wrote:Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati

Cum asa? Si chiar daca ar fi, concluzia aia cu continuitatea pe interval e tot hazardata, doar stim cu totii ca \( \mathbb{Q} \) este numarabila si densa in acelasi timp.

Pai \( f \) are Lebesgue...

Marius Dragoi wrote:Deoarece \( f \) are o multime numarabila de discontinuitati, \( \forall x \in (0,1) \) exista \( n \in N* \) astfel incat \( f \) sa fie continua pe \( (x,x+ \frac {1}{n}) \).
Fie \( F(x) = \int_{0}^{x}{f(t)}dt=0 \). Atunci, din \( \lim_{n\to\infty}{n \cdot \int_{x}^{x+\frac{1}{n}}{f(t)}dt}=0 \) avem:

\( \lim_{n\to\infty} \frac {F(x+ \frac {1}{n}) - F(x)}{(x+ \frac {1}{n}) - x} = 0 \) \( \Rightarrow F^\prime (x) = 0 \Rightarrow f(x)=0 \).

Ce ai vrea sa folosesti pentru a obtine aceeasi concluzie cred ca este Lebesgue differentiation theorem.

Soluţia este imediată dacă aplicăm:

1. O funcţie integrabilă Riemann este continuă a.p.t.

2. În orice punct de continuitate \( x \) a lui \( f \), funcţia \( F : \ t \mapsto \int_0^t f \) este derivabilă şi \( F^{\prime}(x)=f(x) \).

3. O funcţie nulă a.p.t. are integrala 0.