mateforum.ro

Fie \( S(x)=1+\frac{1}{2}+\ldots + \frac{1}{m-1}-\frac{x}{m}+\frac{1}{m+1}+\ldots +\frac{1}{2m-1}-\frac{x}{2m}+\frac{1}{2m+1}+\ldots + \frac{1}{3m-1}-\frac{x}{3m}+\ldots \)
Sa se arate ca \( S(x) \) nu poate converge pentru doua valori distincte ale lui x.

The Math Problems Notebook - Valentin Boju, Louis Funar

Consideram sirul:

\( f_n (x)= \sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{(i-1)m+1}+ \dots +\frac{1}{im-1}-\frac{x}{im} \right). \)

Daca seria \( S(x) \) este convergenta pentru doua valori, fie acestea \( x \) si \( y \), atunci sirul \( (f_n) \) va fi de asemenea convergent pentru valorile \( x \) si \( y \).

Evaluam diferenta \( f_n(x)-f_n(y) = \frac{y-x}{m} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \to \pm \infty \), ceea ce contrazice convergenta lui \( f_n(x) \) si \( f_n (y) \).