mateforum.ro

Exista functii \( f : \mathbb{Q} \rightarrow \left\{-1, 1\right\} \), astfel incat daca \( x \) si \( y \) sunt doua numere rationale distincte satisfacand \( xy=1 \) sau \( x+y \in \left\{0,1\right} \), atunci \( f(x)f(y)=-1 \)?

Problema se gaseste in IMO Shortlist 2004 propusa de Canada. In fine, solutia:

Vom demonstra ca exista o functie \( f \) cu proprietatea din enunt.
Avem ca orice numar rational \( x>0 \) se scrie unic sub forma :
\( a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...+\frac{1}{a_n}}}} \)
unde \( a_0,a_1,...,a_n \in \mathcal N \).Notam \( x=[a_0,a_1,...,a_n] \)
Cum numarul \( n \) depinde numai de \( x \) consideram functia \( f(x)=(-1)^n \) , functia fiind bine definita.
Definim pentru \( x<0 \) relatia \( f(x)=-f(-x) \), si fixam \( f(0)=1 \).Vom arata ca aceasta functie este cea cautata (!)

\( 1) \) Pentru \( x+y=0 \) avem \( x=-y \) deci \( f(x)=f(-y)=-f(y) \). Obtinem \( f(x)f(y)=-f(y)^{2}=-1 \) deoarece \( f(y)\in \left{-1,1\right} \)

\( 2) \) Acum presupunem ca \( xy=1 \).Fara a restrange generalitatea putem lua \( x>y>0 \). Atunci \( x>1 \), daca \( x=[a_0,a_1,...,a_n] \) atunci \( a_0 >=1 \).
Din \( y=\frac{1}{x}=0+\frac{1}{x} \) rezulta \( y=[0,a_0,a_1,...,a_n] \)

Din definitia lui \( f \) avem \( f(x)=(-1)^n \) si \( f(x)=(-1)^{n+1} \) de unde va rezulta \( f(x)f(y)=-1 \)

\( 3) \) In final presupunem ca \( x+y=1 \).Consideram cazurile:

\( (i) \) Luam \( x>y>0 \) si presupunem \( x>\frac{1}{2} \).Avem ca exista \( a_2,...,a_n \in \mathcal N \) astfel incat \( x=[0,1,a_2,...,a_n] \) , \( x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{t}} \) cu \( t=[a_2,...a_n] \)
Din \( x+y=1 \) rezulta \( y=\frac{1}{1+t} \) adica \( y=[0,1+a_2,...,a_n] \).

Din definitia lui \( f \) avem \( f(x)=(-1)^n \) si \( f(x)=(-1)^{n-1} \) de unde va rezulta \( f(x)f(y)=-1 \)

\( (ii) \) Luam \( x>0>y \). Daca \( a_0,...,a_n \in \mathcal N \) astfel incat \( -y=[a_0,...,a_n] \) atunci \( x=1-y=[1+a_0,...,a_n] \).

Cum \( f(y)=-f(-y)=-(-1)^n \) si \( f(x)=(-1)^n \) rezulta \( f(x)f(y)=-1 \)

In concluzie , functia \( f \) cu proprietatea din enunt exista.