Page 1 of 1
Segmente necoplanare
Posted: Sat Feb 28, 2009 10:41 pm
by Marius Mainea
Se dau in spatiu doua segmente necoplanare [AC] si [BD], fiecare de lungime 1. Demonstrati ca cel putin unul din segmentele [AB], [BC], [CD] si [DA] nu este mai mic decat \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Liviu Oprisescu, Concursul rev. Arhimede, 28-02-2009
Posted: Wed Dec 30, 2009 12:08 am
by Marius Mainea
Folosim faptul ca un unghi plan al unui triedru este mai mic decat suma celorlalte doua.
Astfel \( m(\angle{BCD})<m(\angle{BCA})+m(\angle{DCA}) \)
\( m(\angle{BAD})<m(\angle{BAC})+m(\angle{DAC}) \)
si de aici
\( m(\angle{ABC})+m(\angle{BCD})+m(\angle{CDA})+m(\angle{DAB})<360^{\circ} \)
Atunci cel putin unul din unghiurile de mai sus este ascutit si din teorema cosinusului aplicata in triunghiul cu acest unghi obtinem concluzia.