mateforum.ro

Fie \( k \) un numar natural impar si \( n_1<n_2<n_3<...<n_k \) numere naturale impare.Sa se arate ca :

\( {n_1}^2 - {n_2}^2 + {n_3}^2 - {n_4}^2 + ... + {n_k}^2 \ge 2k^2 - 1 \)



Titu Andreescu , S.U.A

Al3xx wrote: Fie \( p \) un numar natural impar si \( n_1<n_2<n_3<\ \ldots\ <n_p \) numere naturale impare.
Sa se arate ca \( S_p\equiv \sum_{k=1}^p\ (-1)^{k-1}n_k^2\ \ge\ 2p^2 - 1 \) (Titu Andreescu , S.U.A).

Metoda I. Deoarece numerele naturale care apar in suma alternanta \( S_p \) sunt numere impare

in ordine strict crescatoare rezulta ca \( n_1\ge 1 \) , pentru orice \( k\in \overline {1,p-1} \) avem \( n_{k+1}-n_k\ge 2 \)

si prin insumare se obtine ca pentru orice \( k\in \overline {1,p} \) avem \( n_k\ge 2k-1\ . \) Asadar,

\( S_p=n_1^2+\sum_{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left(n^2_{2k+1}-n^2_{2k}\right)= \) \( n^2_1+\sum_{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left(n_{2k+1}-n_{2k}\right)\left(n_{2k+1}+n_{2k}\right)\ge \)

\( 1+2\sum_{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left(n_{2k+1}+n_{2k}\right)= \) \( 1+2\sum_{k=2}^{p}n_k\ge 1+2\sum_{k=2}^p(2k-1)=1+2\left(p^2-1\right)=2p^2-1\ . \)

Metoda II. Se arata asemanator ca \( S_1\ge 1 \) si pentru orice numar natural impar \( k \) avem

\( S_{k+2}\ge S_k+8(k+1) \) . Prin insumare se obtine ca pentru orice numar natural impar \( p \)

avem \( S_p\ge 1+16\sum_{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k= \) \( 1+16\frac {\frac {p-1}{2}\cdot\frac {p+1}{2}}{2}= \) \( 1+2\left(p^2-1\right)=2p^2-1 \) , adica \( S_p\ge 2p^2-1 \) .