mateforum.ro

Fie \( \triangle ABC \) si \( D\in\left(AC\right) \) cu proprietatea ca cercul circumscris \( \triangle ABD \) contine centrul cercului
a) inscris in triunghiul \( BDC \);
b) circumscris triunghiului \( BDC \).
Demonstrati, in fiecare caz, ca triunghiul \( ABC \) este isoscel.

Petru Braica, R.M.T. 1/2009

a) Daca I este centrul cercului circumscris atunci patrtulaterul ABOD este inscriptibil deci \( \angle {DIB}=180-\angle {A} \)

Pe de alta parte \( \angle {DIB}=90+\frac{\angle C}{2} \) de unde rezulta ca \( \angle A =\angle B \)

b) Analog cu a) cu diferenta ca de data aceasta \( \angle {DOC}=180- \angle {A}=2\angle C \) de unde \( \angle C =\angle B \)