Page 1 of 1
Inegalitate simpla
Posted: Thu Mar 05, 2009 4:12 pm
by BurnerD1
Sa se demonstreze ca \( a+b+c \le \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \)
Posted: Thu Mar 05, 2009 5:03 pm
by BogdanCNFB
\( \sum\frac{ab}{c}=\sum\frac{a^2b^2}{abc}=\frac{1}{abc}\sum a^2b^2\geq\frac{1}{abc}\sum a^2bc=\frac{1}{abc}\cdot abc\sum a=\sum a. \)
Posted: Fri Mar 06, 2009 12:32 pm
by BurnerD1
Eu, ca elev de clasa a 8-a as fi abordat-o altfel, folosind inegalitatea mediilor
\( \sqrt{\frac{ab}{c} \cdot \frac{bc}{a}} \le \frac {\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}
}{2} \)
\( b \le \frac {\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}
}{2} \)
analog, \( a \le \frac{\frac{ab}{c} + \frac{ac}{b}}{2} \)
\( c \le \frac{\frac{ac}{b} + \frac{bc}{a}}{2} \)
insumandu-le obtinem \( a+b+c \le \frac{ab}{c} + \frac {ac}{b} + \frac {bc}{a} \)
Posted: Fri Mar 06, 2009 12:54 pm
by Virgil Nicula
BurnerD1 wrote:Eu, ca elev de clasa a 8-a as fi abordat-o altfel, folosind inegalitatea mediilor ...
Mi-a placut nu numai solutia ta, ci si "precizarea" ta. Iti dau un sfat. Dupa ce ai gandit solutia,
sa te preocupe si redactarea frumoasa a ei. In cazul de fata, iata cum vedeam eu redactarea ei :
\( \sum\frac {bc}{a}=\frac 12\cdot\sum a\left(\frac bc+\frac cb\right)\ \ge\ \frac 12\cdot\sum a\cdot 2=\sum a\ . \)
Redactata astfel, ai transmis cititorului si cat este de simpla, mai exact a inteles-o foarte usor.
Insa nu este rau sa sti si
C.B.S. \( ^{(*)} \) (sau poate sti !) - vezi frumoasa solutie semnata
BogdanCNFB
(el a folosit o inegalitate tot la nivelul
clasei a VIII - a ,
\( x^2+y^2+z^2\ \ge xy+yz+zx \) -
C.B.S.
particular) si o puteai folosi numai daca nu ai fi avut timp in concurs si/sau ai fi fost mai putin inspirat.
\( ^{(*)}\ \sum_{k=1}^n\frac {a_k}{b_k}\ \ge\ \frac {\left(\sum_{k=1}^na_k\right)^2}{\sum_{k=1}^na_kb_k} \) (forma echivalenta des folosita a
inegalitatii C.B.S.).