mateforum.ro

Fie A o matrice patratica de ordin n cu \( \det A=0 \), si fie X o matrice patratica de ordin n cu toate elementele 1.

Sa se arate ca \( \det(A+X)\cdot \det(A-X)\leq 0 \).

,,Daca \( A,B \in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) astfel incat B are toate elementele egale cu x atunci \( \det (A+B)\cdot \det (A-B)\le (\det A)^2 \)"

OJM 1978

Dem:

\( \det (A+B)=\det A+x\cdot u \) iar \( \det (A-B)=\det A-x\cdot u \) si prin inmultire se obtine concluzia.

Solutia de sus, putin mai explicata.

\( RangX=1 \) , deci X are cel putin n-1 valori proprii nule. Din \( TrX=n \), rezulta a n-a valoarea proprie este egala cu n.

Fie Y o matrice care are \( a_{n,n}=n \) si in rest toate elementele nule. Valoriile proprii ale lui X sunt egale cu cele ale lui Y deci X se poate scrie ca \( X=BYB^{-1} \), unde \( B \) este inversabila.


Determinantul matricei \( A+Y \) se poate scrie ca suma de doi determinanti, spargand ultima linie a lui \( A+Y \) in: ultima linie a lui A + 0,...,0,n. Iar cel de al doilea determinant se scrie ca fiind descompus dupa ultima linie. Am notat \( M_{n,n} \) minorul lui \( A \).

\( \det(A+X)=\det(A+BYB^{-1})=\det(A+Y)=\det(A)+nM_{n,n}=nM_{n,n} \)
\( \det(A-X)=\det(A-BYB^{-1})=\det(A-Y)=\det(A)+(-n)M_{n,n}=-nM_{n,n} \)

deci \( \det(A+X)\cdot \det(A-X)=-n^2M_{n,n}^2 \leq 0 \)

Apropo de postul lui M.M., este util de stiut si cine este \( "u" \).
Daca E este matricea cu toate elementele egale cu 1, atunci \( \det(A+xE)=\det A+x\sum_{i,j=1}^n A_{ij} \), unde \( A_{ij} \) este complementul algebric al elementului \( a_{ij} \). Demonstratia este destul de simpla, aplicand proprietatile determinantilor.
Asadar \( \det(A+xE) \) este o functie de gradul I: \( \det(A+xE)=mx+n \), cu \( a,b \in \mathbb{R} \).
Problema propusa revine la \( \det (A-E) \det (A+E)=(-m+n)(m+n) \leq n^2 = (\det A)^2 \), evident.
Folosind rezultatul de mai sus privitor la \( \det(A+xE) \), se poate calcula determinatul matricei \( B= \left(\begin{array}{cccc} r_{1} & a & ... & a \\ a & r_{2} & ... & a \\ ::: & ::: & ::: & ::: \\ a & a & ... & r_{n} \end{array}\right) \), sau, mai general, al matricei \( C= \left(\begin{array}{ccccc} r_{1} & a & a & ... & a \\ b & r_{2} & a &... & a \\ b & b & r_{3} & ... & a \\ ::: & ::: & ::: & ::: & ::: \\ b & b & b & ... & r_{n} \end{array}\right) \).