mateforum.ro

a) \( 5^x+9^{ \frac{1}{x}}=80 \)
b) \( 5^x+9^{\frac{1}{x}}=30 \)

Fie \( f(x)=a^x+a^{\frac{b}{x}},a>1,b>0 \). Ecuatia noastra se scrie:
\( 5^x+5^{\frac{{\log_5 9}}{x}}=80. \) Observam ca \( f(x)=f(\frac{b}{x}) \). De aici rezulta ca functia f(x)=c poate sa nu aiba solutii, iar daca are are doua: \( x_0 \) si \( \frac{b}{x_0} \).

Deci dak cineva gaseste o solutie care sa verifice ec. \( 5^x+5{\frac{{\log_5 9}}{x}}=80, \) problema e rezolvata pentru ca o gaseste si pe a 2-a.

Folosim teorema:

,,Daca a>1, b>1, \( c=\sqrt{\log_a b} \), atunci functia f:\( (0,\infty) \rightarrow\mathbb{R} \) \( f(x)=a^x+b^{\frac{1}{x}} \) este strict descrescatoare pe (0,c] si strict crescatoare pe \( [c,\infty) \).
De asemenea, daca \( x_0 \) este unica solutie din (0,c], atunci \( x_1=\frac{c^2}{x_0} \) este unica solutie din \( [c,\infty). \)''