Page 1 of 1
A si B comuta, atunci det(A^2+B^2)>=(detA-detB)^2
Posted: Wed Oct 24, 2007 12:53 am
by Cezar Lupu
Fie \( A, B\in M_{2}(\mathbb{R}) \) doua matrice astfel incat \( AB=BA \). Sa se arate ca \( \det(A^{2}+B^{2})\geq(\det A- \det B) ^{2} \).
Tudorel Lupu, R.M.I. C-ta, 2003
Posted: Fri Jun 20, 2008 10:30 pm
by Marius Mainea
Putem presupune ca A sau B inversabila, altfel e trivial.
Sa zicem ca B inversabila. ,,Fortand'' factor comun B e suficient sa demonstram relatia:
\( \det (X^2+I_2)\geq (\det X-1)^2 \)
Ori aceasta se reduce la
\( \det^2X+\tr X^2+1\geq \det^2X-2\det X+1 \)
sau
\( (\tr X)^2-2\det X\geq -2\det X \)
ceea ce este evident adevarat.