mateforum.ro

Fie \( a, b, c \) trei numere trict pozitive astfel incat \( abc=1 \). Sa se arate ca \( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\geq a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \).

Deconditionam: \( a=\frac{x}{y} \);\( b=\frac{z}{x} \);\( c=\frac{y}{z} \)

Inegalitatea devine echivalenta cu: \( \sum \frac{x^2}{yz}+3\geq\sum \frac{x}{y}+\sum\frac{y}{x} \)
Prin aducere la acelasi numitor (anume xyz, care se simplifica fiind pozitiv) devine:\( \sum x^3+3xyz\geq\sum{x^2}(y+z) \)
care este inegalitatea lui Schur pt n=1 (sau se reduce imediat la cunoscuta \( (x-y+z)(x+y-z)(-x+y+z)\leq xyz \)).