Page 1 of 1
Puncte pe o dreapta
Posted: Tue Mar 24, 2009 11:13 pm
by BogdanCNFB
Pe dreapta \( d \) se considera punctele \( A_1,A_2,...,A_{11} \) cu proprietatea ca \( A_iA_j<1 \) pentru orice \( i,j\in {1,2,...,11} \). Sa se arate ca:
\( \sum_{1\le i<j\le 11} A_iA_j<30 \).
Posted: Fri Mar 27, 2009 12:09 am
by Marius Mainea
Putem presupune ca ordinea este \( A_1,A_2,...,A_{11} \) atunci
LHS=\( 10A_1A_2+9A_2A_3+...+A_{10}A_{11}<10(A_1A_2+A_2A_3+...+A_{10}A_{11})=10A_1A_{11}<10 \)
Posted: Fri Mar 27, 2009 12:22 am
by Beniamin Bogosel
Marius Mainea wrote:Putem presupune ca ordinea este \( A_1,A_2,...,A_{11} \) atunci
LHS=\( 10A_1A_2+9A_2A_3+...+A_{10}A_{11}<10(A_1A_2+A_2A_3+...+A_{10}A_{11})=10A_1A_{11}<10 \)
Nu cred ca e bine... si
\( A_{10}A_{11} \) apare tot de 10 ori in suma data...
Daca notam cu
\( x_1<x_2<...<x_{11} \) coordonatele punctelor pe dreapta, suma data este egala cu
\( \sum_{i<j}^{11}(x_j-x_i)=-10x_1-8x_2-6x_3-4x_4-2x_5+2x_7+4x_8+6x_9+8x_{10}+10x_{11}<10+8+6+4+2=30 \).