mateforum.ro

Gasiti functiile continue \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) cu proprietatea ca \( \int_0^xf(t)dt=cf(x) \) pentru orice \( x\in\mathbb{R} \), unde \( c\in\mathbb{R} \) este fixat.

Daca \( c=0 \) rezulta simplu ca \( f(x)=0,\forall x\in\mathbb{R} \).
Pentru \( c\in\mathbb{R}^* \) avem:
\( \int_{0}^x f(t)dt=F(x)-F(0)=cf(x)\ (1) \)
unde \( F \)este o primitiva a lui \( f \). Avem deci \( f \)derivabila iar din (1) obtinem \( f(x)=cf^{\prime}(x) \). Consider \( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},g(x)=e^{-\frac{x}{c}}f(x) \). Cum \( g^{\prime}(x)=0,\forall x\in\mathbb{R} \) rezulta ca exista \( d\in\mathbb{R} \) a.i. \( g(x)=d<=>f(x)=de^{\frac{c}{x}} \) iar din \( f(0)=0 \) se obtine\( d=0<=>f=0 \).
In concluzie singura solutie este functia identic nula pentru orice c real.