mateforum.ro

Fie \( n> 2 \) un numar natural si \( a\in (0,\infty) \) astfel incat
\( 2^a+\log_2a=n^2 \)

Sa se demonstreze ca
\( 2 \cdot \log_2 n>a>2 \cdot \log_2 n -\frac{1}{n} \) .


ONM 2004

Prima inegalitate este banala deoarece a>1 si \( 2\log_2n=\log_2({2^a+\log_2a)>a \).

Pentru a doua, dupa calcule sumare ajungem ca treb demonstrat \( n^2(1-\frac{1}{2^{1/n}})>\log_2(2\log_2n-\frac{1}{n}) \)