mateforum.ro

PROBLEMA 1 Fie \( p \) si \( q \) doua numere intregi pozitive relativ prime. Pentru intregii \( m \) si \( n \), cu \( \min(m,n)\ge \max(p,q) \), consideram reteaua pe suprafata unui colac, realizata cu \( m \) cercuri echidistante "de-a lungul" si \( n \) cercuri echidistante "de-a latul" (laticea \( Z_m\times Z_n \) pe torul 2-dimensional). Celulelor acestei retele sunt asignate numere reale egale cu \( x \) sau \( y \) (fiecare cel putin odata). Reteaua este balansata daca suma numerelor din celulele oricarui "sub-patrat" \( p\times p \) este constanta si de asemenea, suma numerelor din celulele oricarui "sub-patrat" \( q\times q \) este constanta. Demonstrati ca o retea este balansata daca si numai daca \( x=y \).

PROBLEMA 2 Fie \( \tau \) un cerc de centru \( O \) si \( \delta \) o dreapta in planul lui \( \tau \) astfel incat \( \delta \cap \tau \) este multimea vida. Fie \( A \) piciorul perpendicularei din \( O \) pe \( \delta \) si fie \( M \) un punct (variabil) pe cercul \( \tau \), dar nu pe dreapta \( OA \). Notam cu \( \gamma \) cercul de diametru \( AM \), cu \( X \) punctul (celalalt decat M) de intersectie al cercurilor \( \gamma \) si \( \tau \) si cu \( Y \) punctul (celalalt decat \( A \)) de intersectie al cercului \( \gamma \) cu dreapta \( \delta \). Demonstrati ca dreapta \( XY \) trece printr-un punct fix.

PROBLEMA 3 Determinati numerele intregi pozitive \( n \) pentru care \( C^k_n \) divide \( C^{2k}_{2n} \).

PROBLEMA 4 Fie un triunghi \( ABC \) cu varfurile, precum si centrul \( O \) al cercului circumscris, puncte cu coordonate intregi (laticiale). Determinati minimul ariei triunghiului \( ABC \).

Cea mai simpla problema este numarul 4.
Se aplica teorema lui Pick si tot ce ramane de demonstrat este ca aria triunghiului nu poate fi egala cu \( \frac{1}{2} \).

Problema 1

Presupunem prin absurd ca se folosesc doar 2 numere(x si y). Ele pot fi inlocuite cu 0, respectiv 1. Notam cu \( S_p \) suma din patratul \( p \times p \), iar cu \( S_q \) suma din patratul \( q \times q \). Fixam unul din puncte si mergem de-a lungul \( pq \) unitati. Din acel punct mergem de-a latul tot \( pq \) unitati si obtinem un patrat \( pq \times pq \). Suma numerelor din patrat este\( q^2S_p \) si in acelasi timp si \( p^2S_q \), deci \( q^2S_p=p^2S_q \), iar deoarece \( S_q\leq q^2 \) si \( (p,q)=1 \) rezulta ca \( S_q=q^2 \), deci in patrat avem numai 1, deci initial aveam doar y. Asadar in orice patrat \( q\times q \) avem scris doar y, fals. Deci patratul este completat cu cel putin 3 culori.

Problema 4

Printr-o translatie putem presupune ca O este originea sistemului cartezian. Notam coordonatele punctelor \( A \)(\( X_A, Y_A \)) si analog la \( B \) si \( C \). Din Pitagora \( X_A^2+Y_A^2=X_B^2+Y_B^2=X_C^2+Y_C^2 \)
De aici se obtine ca exista 2 puncte (sa zicem A si B) astfel incat \( X_A=X_B(mod 2 \) si \( Y_A=Y_B(mod 2) \). Atunci mijlocul segmentului AB este punct laticial si deci din t. lui Pick aria triunghiului este cel putin 1. De aici se gaseste exemplul cu aria 1 si problema este rezolvata.

Sau altfel la problema 4 ca \( A=\frac{|\delta|}{2} \) si dezvoltand determinantul delta avem ca este mai mare sau egal cu 2 in modul, de aici \( A\ge 1 \) si apoi construim un triunghi cu varfurile de coordonate laticiale si problema e terminata.