mateforum.ro

Un patrat de latura 5 se imparte in 25 de patrate de latura 1. In fiecare patrat unitate se scrie cate un numar real strict pozitiv si mai mic decat 1 astfel incat:
- suma numerelor de pe fiecare linie este un numar natural
- suma numerelor de pe fiecare coloana este un numar natural
- suma celor 25 de numere este 11.
a) Sa se arate ca cel putin unul dintre cele 25 de numere este mai mare sau egal decat \( \frac{3}{5} \).
b) Daca un singur numar dintre cele 25 de numere este mai mare decat \( \frac{3}{5} \), sa se arate ca sumele numerelor de pe linia si coloana ce il contin sunt egale.

a) Presupunem ca toate numerele sunt strict mai mici decat \( \frac{3}{5} \). Atunci pe fiecare linie, suma numerelor este strict mai mica decat 5\( \cdot\frac{3}{5} \)=3, deci cel mult egala cu 2.
Atunci suma numerelor de pe patratul mare este mai mica decat 5\( \cdot \)2=10, deci <11, contradictie cu suma indicata in ipoteza. Atunci rezulta ca cel putin un numar este \( \geq \) cu \( \frac{3}{5} \).
b) Pe linia, respectiv coloana ce contine numarul maxim, suma numerelor este mai mica decat 4\( \cdot\frac{3}{5} \)+1=3,4, deci cel mult egala cu 3.
Dar pe restul liniilor si coloanelor, suma are valoarea maxima 2. Insa 11>2\( \cdot \)5. Deducem ca exista o linie si o coloana cu suma cifrelor minim 3, chiar cele care contin numarul maxim.

b) fie \( a_1 \) numarul mai mare decat \( \frac{3}{5} \).
Atunci celelalte numere pot fi cel mult egale cu 0,6.
Pe coloana 1 suma poate fi 2, la fel pe coloanele 2, 3, 4, iar pe coloana 5 toate numelerele pot fi egale cu 0.6, deci suma 3.
Pe randul 1 suma poate fi 3, iar pe celelalte randuri suma poate fi 2, ceea ce contravine cerintei.

Sa-mi explice cineva unde am gresit.
Multumesc.

O configuratie care respecta toate conditiile:

\( 0.9;\ 0.3;\ 0.6;\ 0.6;\ 0.6 \)
\( 0.1;\ 0.5;\ 0.4;\ 0.4;\ 0.6 \)
\( 0.5;\ 0.2;\ 0.4;\ 0.3;\ 0.6 \)
\( 0.3;\ 0.5;\ 0.2;\ 0.4;\ 0.6 \)
\( 0.2;\ 0.5;\ 0.4;\ 0.3;\ 0.6 \)

Contradictie.

Sunt chiar curios daca e bine.