mateforum.ro

Fie functia \( f:[0,1]\rightarrow R \) derivabila cu derivata continua astfel incat \( \int_0^1(f^{\prime}(x))^{2}dx \le 2 \int_0^1f(x)dx \). Sa se determine \( f \) stiind ca \( f(1)=-\frac{1}{6} \).

Radu Gologan

Indicatie:

Sa cauta \( a \) real astfel incat \( \int_0^1(f^{\prime}(x)+ax)^2dx\le 0 \)

Alte probleme de acest fel aici.

Exista si o solutie diferita de ceea ce e in barem :
Avem:\( \int_0^1 x^2dx\int_0^1(f^{\prime}(x))^2dx\ge \(\int_0^1 xf^{\prime}(x)dx\)^2 \).(din CBS)
Tinand cont de ipoteza si integrand prin parti avem \( \int_0^1(f^{\prime}(x))^2dx\ge 3F^2(1)+F(1)+\frac{1}{12}\ge 3F^2(1)+\frac{1}{2}\int_0^1(f^{\prime}(x))^2dx+\frac{1}{12} \).
De aici rezulta \( \int_0^1(f^{\prime}(x))^2dx\ge 6F^2(1)+\frac{1}{6}\ge 2F(1) \),ultima inegalitate fiind AM-GM,tinand cont si de ipoteza.
Deci avem egalitate in CBS .In concluzie exista \( a\in\mathbb{R} \) a.i. \( f^{\prime}(x)=ax \).De aici totul vine de la sine pt ca obtinem \( f(x)=a\frac{x^2}{2}+c =>\frac{a}{2}+c=-\frac{1}{6} \)Introducem totul in inegalitatea din ipoteza care am demonstrat ca e egalitate si rezulta \( f(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{3} \).