Page 1 of 1
ONM 2009, problema 4
Posted: Mon Apr 13, 2009 7:02 pm
by bogdanl_yex
Sa se determine toate functiile \( f:[0,1] \rightarrow [0,1] \) continue si bijective cu proprietatea ca \( \int_0^1 g(f(x))dx=\int_0^1 g(x)dx \) pentru orice functie continua \( g:[0,1] \rightarrow R \).
Posted: Fri Apr 17, 2009 11:22 am
by Cristi
Presupunem ca \( f(0)=0 \), cazul \( f(0)=1 \) se face analog.
Presupunem ca exista \( x<y \) cu \( f(x)=y \) si luam z astfel incat \( x<z<y \). Consideram functiile \( g \leq h \) , g este egala cu 1 pe \( [0,z] \), 0 pe \( [y,1] \) si liniara pe \( [z,y] \). h este egala cu 1 pe \( [0,y] \) si 0 pe \( [y,1] \).
Aplicam ipoteza pt. g si folosim \( \int g(f(x)) \leq \int h(f(x)) \): \( \int g(x)=z+\frac{y-z}{2} \leq \int h(f(x))=x \) , contradictie. Cazul \( x>y \) se face analog.
Pare mai simpla decat solutia oficiala.