Page 1 of 1
Teorema lui Leibniz pentru triunghi
Posted: Fri Apr 17, 2009 10:36 pm
by Andi Brojbeanu
Sa se demonstreze ca G fiind centrul de greutate al triunghiului ABC, iar M un punct oarecare in plan se verifica relatia:
\( MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2 \)
Re: Teorema lui Leibniz pentru triunghi
Posted: Tue Apr 21, 2009 5:53 pm
by Virgil Nicula
Andi Brojbeanu wrote: Sa se demonstreze ca \( G \) fiind centrul de greutate al triunghiului \( ABC \) , iar \( M \) un punct oarecare
in plan se verifica relatia \( MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2 \) .
Deoarece \( \sum GA^2=\frac 49\cdot\sum m^2_a=\frac 19\cdot\sum \left[2\left(b^2+c^2\right)-a^2\right]=\frac 13\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right) \) , identitatea se poate scrie uzual astfel :
\( XA^2+XB^2+XC^2=3XG^2+\frac {a^2+b^2+c^2}{3} \) pentru orice punct \( X \) din planul triunghiului \( ABC \). Incercati particularizarea
lui \( X\in\left\{G\ ,\ O\ ,\ I\ ,\ H\ ,\ N\ ,\ \Gamma\ ,\ \ldots\right\} \) pentru a obtine distantele de la \( G \) la alte puncte remarcabile ale triunghiului \( ABC \) ...
Posted: Tue Apr 21, 2009 7:55 pm
by mihai miculita
\( \mbox{Notand cu }M_a \mbox{ mijlocul laturii }[BC] \mbox{ si cu }N_a \mbox{ mijlocul segmentului }[GA], \mbox{ avem: }|M_aN_a|=|GA| \\
\mbox{si folosind formula care ne da lungimea medianei, avem: } \)
\( |MG|^2=\frac{2.(|MM_a|^2+|MN_a|^2)-|M_aN_a|^2}{4}=\frac{2.(|MM_a|^2+|MN_a|^2)-|GA|^2}{4}; \ \ (1)\\
|MN_a|^2=\frac{2.(|MG|^2+|MA|^2)-|GA|^2}{4}; \ \ (2)
\mbox{ si: } |MM_a|^2=\frac{2.(|MB|^2+|MC|^2)-|BC|^2}{4}. \ \ (3)\\
\mbox{Inlocuind acum relatiile (3) si (2) in relatia (1), obtinem:}\\
4.|MG|^2=2.\left[\frac{2.(|MB|^2+|MC|^2)-|BC|^2}{4}+\frac{2.(|MG|^2+|MA|^2)-|GA|^2}{4}\right]-|GA|^2=|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2+|MG|^2-\frac{|BC|^2}{2}-\frac{3.|GA|^2}{2}\Rightarrow \\
\Rightarrow 3.|MG|^2+\frac{3.|GA|^2}{2}+\frac{|BC|^2}{2}=|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2.\ \ (4)\\
\mbox{In mod analog obtinem ca: }\\
3.|MG|^2+\frac{3.|GB|^2}{2}+\frac{|AC|^2}{2}=|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2;\ \ (5)\\
3.|MG|^2+\frac{3.|GC|^2}{2}+\frac{|AB|^2}{2}=|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2.\ \ (6)
\mbox{Adunand acum relatiile (4), (5) si (6), membru cu membru obtinem: }\\
9.|MG|^2+\frac{3}{2}.\left( |GA|^2+|GB|^2+GC|^2\right)+\frac{1}{2}.\left(a^2+b^2+c^2\right)=3.\left(|MA|^2+|MB|^2+|MC|^2\right).\\
\mbox{In fine, tinand acum seama de prima relatie data de catre dl. prof. Nicula, obtinem relatia lui Leibnitz.} \)