Page 1 of 1
Matrice de rang 1
Posted: Sat Apr 18, 2009 5:55 pm
by Radu Titiu
Fie \( X,A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) cu \( A \neq O_n \). Aratati ca
\( \det(X+A)=\det(X)+\tr(X^{*}A) \), \( \forall X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \)
daca si numai daca \( rang(A)=1 \).
Posted: Mon Apr 20, 2009 10:31 pm
by Marius Mainea
Presupunem ca are loc relatia si sa aratam ca rang(A)=1.
Presupunem ca rang(A)=r.
Fie A=UQV, unde U si V sunt matrice inversabile iar Q matricea care are primele r elemente de pe diagonala principala 1 si in rest 0. Alegand X=UV se obtine
\( \det (UV)\det (I_n+Q)=\det (UV)(\det I_n+\tr Q) \),
adica \( 2^r=1+r \), deci \( r=1 \).
Reciproc se foloseste faptul ca coeficientul termenului \( X^k \) al polinomului caracteristic al unei matrice de ordin n este suma minorilor principali de ordin n-k ai matricei respective.