mateforum.ro

Se considera tetredrul echifacial \( ABCD \) cu \( AB=a\ ,\ BC=b\ ,\ CD=c\ ,\ DA=d\ ,\ AC=e\ ,\ BD=f \). Aratati ca daca \( \frac{a+b+c+d}{e+f}\ ,\ \frac{a+c+e+f}{b+d} \) si \( \frac{b+d+e+f}{a+c} \) sunt numere naturale, atunci tetraedrul este regulat.

Nicolae Musuroia

Am impresia ca pe undeva in enuntul problemei s-a strecurat o greseala!
Fiindca am putea avea: \( a+c=b+d=e+f=k\in\mathbb{N} \); (1)
si conditiile din enuntul problemei sunt in acest caz indeplinite, caci avem:
\( \frac{a+b+c+d}{e+f}=\frac{a+c+e+f}{b+d}=\frac{b+d+e+f}{a+c}=k\in\mathbb{N}. \)
Un tetraedru in care are loc relatia (1): "suma muchiilor opuse este aceeasi", poarta numele de tetraedru carcasa (Crelle).
Toate muchiile unui astfel de tetraedru sunt tangente la o aceeasi sfera, numita sfera hexatangenta la muchiile tetraedrului.
Un caz particular de tetraedru carcasa este si piramida regulata ABCD cu varful in D, in care: \( a=b=e\ne c=d=f. \)
Deci tetraedrul nu este neaparat regulat!

Despre Tetraedre Crelle sau Tetraedre Carcasa gasiti cateva informatii aici.

Intr-adevar pentru un tetraedru Crelle cu proprietatea(1): \( a+c=b+d=e+f=k\ge0 \) avem \( \frac{a+b+c+d}{e+f}=\frac{a+c+e+f}{b+d}=\frac{b+d+e+f}{a+c}=2 \). Dar cum din enunt tetraedrul este echifacial avem \( a=c \) , \( b=d \) , \( e=f \) de unde obtinem \( 2a=2b=2c=2d=2e=2f \) si de aici concluzia ca \( ABCD \) este tetraedru regulat.
(Un tetraedru Crelle care este echifacial este tetraedru regulat )

O conditie necesara si suficienta ca tetraedrul \( ABCD \) sa fie echifacial este ca orice pereche de muchii opuse sa fie egale.
Atunci putem face notatiile \( a=c=x \), \( b=d=y \), \( e=f=z \). Din enunt obtinem ca numerele \( \frac{x+y}{z} \) , \( \frac{y+z}{x} \) , \( \frac{z+x}{y} \) sunt numere naturale. Facem notatiile \( \frac{x+y}{z}=k \), \( \frac{y+z}{x}=m \), \( \frac{z+x}{y}=n \). Atunci \( x+y=kz \), \( y+z=mx \), \( z+x=ny \), unde \( k,m,n \) sunt numere naturale. Adunam ultimele trei relatii si obtinem \( 2x+2y+2z=kz+mx+ny \), deci \( x(2-m)+y(2-n)+z(2-k)=0 \), dar cum \( x \),\( y \) si \( z \) sunt pozitive obtinem \( k=m=n=2 \) de unde rezulta ca \( \frac{x+y}{z}=\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=2 \) de unde obtinem \( x=y=z \) si de aici concluzia.

Eroarea am facut-o eu! Ca n-am citit cu atentie textul si nu am obserevat ca in ipoteza problemei aparea ABCD tetraedru echifacial.
Oricum problema ar fi fost mai frumoasa fara a se mai impune aceasta ipoteza suplimentara!
1). Intr-un tetraedru ABCD au loc urmatoarele inegalitati:
(i). \( a+c+b+d>e+f; \) (ii). \( a+c+e+f>b+d \) si (iii). \( b+d+e+f>a+c. \)
Voi demonstra doar pe prima, celelalte doua demonstrandu-se in mod analog.
\( \left \begin{\array} \triangle{ABC}\Rightarrow a+b>e\\
\triangle{ACD}\Rightarrow c+d>e \right\} \Rightarrow a+b+c+d>2e ; \) (1)
Analog, din \( \triangle{ABD} \) si \( \triangle{BCD}\Rightarrow a+b+c+d>2f; \) (2)
In fine, adunand relatiile (1) si (2), membru cu membru, obtinem ca:
\( 2(a+b+c+d)>2.(e+f) |:2\Rightarrow a+b+c>e+f. \)
2). Daca: \( \frac{a+b+c+d}{e+f}\in\mathbb{N}\Rightarrow a+b+c+d=m.(e+f) \) (3) si tinand seama de (i), avem \( m\ge 2. \)
In mod analog avem:
\( a+c+e+f=n.(b+d); n\in\mathbb{N}; \ n\ge 2 \) (4)
\( b+d+e+f=p.(a+c); p\in\mathbb{N}; \ p\ge 2. \) (5)
In fine, adunand acum relatiile (3), (4) si (5), membru cu membru, obtinem relatia:
\( 2.(a+b+c+d)=m.(e+f)+n.(b+d)+p.(a+c) \mbox{ unde: } m,n,p\ge 2 \Rightarrow m=n=p=2\Rightarrow \dots \Rightarrow a+c=b+d=e+f. \)
[Avem de exemplu: \( (b+d)-(e+f)=(a+b+c+d)-(a+c+e+f)=2(e+f)-2(b+d)\Rightarrow 3.(b+d)=3.(e+f)|:3\Rightarrow b+d=e+f \)]