mateforum.ro

Daca \( f \) este o functie derivabila pe un interval \( I \), atunci \( A=\{ \frac{f(x)-f(y)}{x-y},\ x \neq y,x,y \in I \} \) este o submultime densa a lui \( f^{\prime}(I) \).

Observatie:S-a dat la ONM 1996.
O aplicatie a acestei probleme este problema 3 de la ONM 2008, clasa a XI-a.

Nu-s sigur ca e bine ce zic, dar.. fie

Este evident ca \( A \) este o submultime a lui \( f^{\prime} \left(I \right) \), deoarece \( f^{\prime} \) are Darboux.
Notam cu \( M \) multimea formata din \( A \) reunita cu multimea punctelor sale de acumulare. Acum este evident ca \( f^{\prime} (I) \subseteq M \). De aici, rezulta ca \( A \) este densa in \( f^{\prime}(I) \).

Mai mult, daca tin bine minte, am vazut undeva demonstrat faptul ca \( A \) este interval (foarte misto ideea).