mateforum.ro

Sa se arate ca:

\( (x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\leq3(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2) \), oricare ar fi x, y, z >0.

Gazeta Matematica 3/2009, Lucian Petrescu, Tulcea

Este o inegalitate cunoscuta :

\( \sqrt{x^2+xy+y^2}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y) \)

Ridicand la patrat obtinem :

\( x^2+xy+y^2\ge \frac{3}{4}(x+y)^2 \)

Si analog :

\( y^2+yz+z^2\ge \frac{3}{4}(y+z)^2 \)

\( z^2+zx+x^2\ge \frac{3}{4}(z+x)^2 \)

Inmultindu-le pe toate trei si apoi inmultind cu \( 3 \) obtinem :

\( LHS \ge \frac{81}{64}(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 \)

Este o inegalitate cunoscuta :

\(
9(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8(x+y+z)(xy+yz+zx) \)

Impartind cu \( 8 \) si ridicand la patrat se obtine :

\(
\frac{81}{64}(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2\ge ((x+y+z)(xy+yz+zx))^2 \)

Iar concluzia este imediata .

Totusi este mai frumoasa demonstratia geometrica .

Este o problema de la olimpiada de matematica din India, 2007.