mateforum.ro

Fie \( z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C} \).
Demonstrati ca \( |z_1-z_2||z_3-z_4|+|z_2-z_3||z_4-z_1|\ge |z_1-z_3||z_4-z_2| \).
Cand are loc egalitatea?

\( A(z_1),\ B(z_2),\ C(z_3),\ D(z_4) \)
Inegalitatea de demonstrat devine \( AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD \) care este inegalitatea lui Ptolemeu cu egalitate cand ABCD e inscriptibil, adica \( \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}:\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\in R* \)

BogdanCNFB wrote: \( z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}\ \Longrightarrow\ |z_1-z_2||z_3-z_4|+|z_2-z_3||z_1-z_4|\ge |z_1-z_3||z_2-z_4| \) .

Dem. \( |z_1-z_2|\cdot |z_3-z_4|+|z_2-z_3|\cdot |z_1-z_4|\ge |(z_1-z_2)(z_3-z_4)+(z_2-z_3)(z_1-z_4)|=|z_1z_2-z_1z_4-z_2z_3+z_3z_4|=|z_1-z_3|\cdot |z_2-z_4| \) .

Comentariu. Dupa parerea mea, aici ar fi interesant sa demonstrati inegalitatea propusa in universul numerlor complexe si nu prin echivalenta sa geometrica, adica ineg. Ptolemeu sa fie o consecinta si nu folosita in demonstratie, in ipoteza de a fi cunoscuta impreuna cu demonstratia ei sintetica. Mai greu se demonstreaza sintetic ineg. Ptolemeu decat prin numere complexe. Nu de alta, dar sa folosim numerele complexe in geometria sintetica si mai rar sau deloc invers ... Invers este banal, cu conditia sa cunosti bine proprietatile din geometria sintetica impreuna cu demonstratiile acestora. Altfel inseamna a "fenta" problema si nicidecum a o rezolva.