mateforum.ro

Profesor: M. Becheanu

1) a) Sa se scrie 3 puncte in \( \mathbb{R}^4 \) afin dependente.
b) Sa se scrie 4 puncte in \( \mathbb{R}^4 \) afin independente.
c) Sa se scrie ecuatia hiperplanului \( H \subset \mathbb{R}^4 \) care contine cele 4 puncte de mai sus.

2) In spatiul \( \mathbb{R}^3 \) sa se scrie ecuatia planului mediator al segmentului AB unde A=(1,1,-1), B=(3,1,5). Sa se scrie acuatia simetriei fata de acest plan.

3) Sa se arate ca GL(2,R) contine o infenitate de subgrupuri de ordin 3 si \( O(2) \times T_+(2) \) contine un singur subgrup de ordin 3.

4) Se considera in plan vectorii a=(1,0) si b=(0,-1). Sa se scrie izometria \( T_a T_b \) ca un produs de simetrii de drepte.

5) Se considera in plan punctele A(2,0), B(4,1), C(2,3), A'(5,5), B'(6,3), C'(8,5). Sa se arate ca triunghiurile ABC si A'B'C' sunt congruente si sa se scrie ecuatia izometriei care transforma ABC in A'B'C'.

6) Sa se arate ca translatiile \( T_a \ si \ T_b \) sunt conjugate in \( I(\mathbb{R}^2 ) \Leftrightarrow \ | {\bf a} \ | = \ | {\bf b} \ | \).

3 mai 2009
Profesor: M. Becheanu

(1) (a) Sa se dea exemplu de 3 puncte afin dependente in \( \mathbb{R}^3 \).
(b) Sa se dea exemplu de 3 puncte afin independente in \( \mathbb{R}^4 \).
(c) Sa se scrie ecuatia spatiului afin generat de cele 3 puncte de la (b).

(2) Se dau punctele A(2,1,5,4), B(0,-1,1,-2) in \( \mathbb{R}^4 \). Sa se scrie ecuatia hiperplanului mediator al segmenului AB si sa se scrie ecuatia simetriei fata de hiperplanul mediator.

(3) Sa se arate ca \( S_3 \) se poate scrie ca produs semidirect dintre doua subgrupuri ale sale.

(4) Se considera in plan translatia T de vector a=(0,-2) si simetria axiala S fata de dreapta d : x+y=1. Sa se arate ca \( T\circ S \) este glide si sa se scrie ecuatia sa.

(5) Se considera in plan punctele A(0,-1) , B(2,1), C(3,-2) si A'(0,1), B'(2,3), C'(-1,4). Sa se arate ca triunghiurile ABC si A'B'C' sunt congruente si sa se scrie ecuatia izometriei care duce ABC in A'B'C'.
(coordonatele punctelor nu mai stiu exact care sunt, dar le-am scris astfel incat rezolvarea sa se faca cu aceleasi izometrii)

(6) Se considera in \( \mathbb{R}^3 \) multimea M={A,B,C,D,E} astfel incat ABCD si ABCE sunt tetraedre regulate. Se considera G multimea izometriilor care invariaza M. Sa se arate ca G este subgrup finit al lui \( I(\mathbb{R}^3) \) si sa se calculeze G.