mateforum.ro

Am auzit că ar exista mulţimi infinite numărabile. Dacă e aşa, în ce constă numărabilitatea lor? Dacă o mulţime infinită are cardinalul infinit, asta nu înseamnă că mulţimea nu poate fi numărată pînă la capăt?

O multime este numarabila daca si numai daca exista o bijectie din \( \mathbb{N} \) pe ea.

De exemplu multimea numerelor naturale este numarabila si este infinita.
Multimea numerelor rationale este de asemenea numarabila si infinita.

Dacă o mulţime infinită are cardinalul infinit, asta nu înseamnă că mulţimea nu poate fi numărată pînă la capăt?

Cum adica sa fie numarata?

Mai multe detalii aici:
Wikipedia - Countable Set

O multime este numarabila daca elementele acestei multimi pot fi enumerate (nu numarate) \( x_1,x_2,...,x_n,... \), adica multimea poate fi aranjata sub forma unui sir. Nu toate multimile au aceasta proprietate. Cel mai usor exemplu este \( \mathbb{R} \).

Păi, în cazul numerelor naturale le enumerăm: x1, x2,..., xn,... (poate şi un infinit). Dar în cazul numerelor reale de ce nu le-am putea enumera la fel (pe ele, pe elemente) ? Adică ceva de genul: x1,..., x2,..., x3,... (pt. că între două numere ar fi o infinitate de numere; mă gîndesc că de-aia se zice că nu e numărabilă această mulţime.)
Enumerările de mai sus, corecte sau nu, oricum nu sunt complete, şi nu pot fi niciodată. Iar prin a fi numărate mă refeream la o enumerare completă.

In primul rand, zi in ce clasa esti si de ce te intereseaza chestiile astea.

Nu ai inteles fenomenul. Singurele multimi pentru care poti sa enumeri toate elementele sunt cele finite. Aici teoria si totul este foarte simplu, si le stii si tu. La multimile infinite se schimba treaba, si cele mai simple multimi infinite sunt cele numarabile.

Enumerare inseamna o bijectie intre multimea respectiva si multimea numerelor naturale. Intre N si Q exista o bijectie, pe cand intre R si N nu exista o asemenea bijectie. Uite AICI primul rezultat la cautarea mea de pe google pentru demonstratia faptului ca R este nenumarabila.

Asteapta pana o sa studiezi lucrurile astea in facultate, sau cauta o carte de analiza/algebra care are la inceput lucruri de teoria multimilor (aproape toate au). Citeste si apoi da-ti cu parerea, pentru ca daca vorbesti numai asa din ce crezi tu, atunci nu castigi nimic.

Păi, mai bine întreb aici decît să citesc, pentru că nu mă interesează matematica îndeobşte, ci sînt numai momente în care mă interesează anumite lucruri. Ştiind matematică mai puţină, e firesc să iau termenii cu sensul propriu, pînă mă corectează cineva. Mersi pt. răspunsuri.