mateforum.ro

Sa se arate ca nu exista morfisme de grup netriviale de la \( (\mathbb{Q},\,+) \) la \( (GL(n,\mathbb{Z}),\,\cdot) \).

(A. Buium, GMA 1987)

\( G=\mbox{Gl}_n(\mathbb{Z}) \) e ceea ce se numeste grup rezidual finit: pentru orice element netrivial exista un subgrup normal al lui \( G \) de indice finit care nu contine elementul respectiv. Asta se poate vedea considerand aplicatiile canonice de la \( G \) in \( \mbox{Gl}_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \) pentru diverse numere naturale \( m \). \( \mathbb Q \), pe de alta parte, e grup abelian divizibil: pentru orice \( x\in\mathbb Q \) si orice numar intreg nenul \( t \) exista \( y\in\mathbb Q \) astfel incat \( ty=x \). Se vede imediat ca fiecare imagine a lui \( \mathbb Q \) printr-un morfism e tot grup abelian divizibil.

Ar trebui sa fie destul de clar din definitiile de mai sus (si din faptul ca un grup abelian divizibil netrivial e infinit) ca are loc urmatoarea generalizare:

Nu exista morfisme netriviale de la un grup abelian divizibil la unul rezidual finit.