mateforum.ro

Fie \( d\in\mathbb{Z}, \, d\neq 0 \) un intreg liber de patrate, \( R=\mathbb{Z}[\sqrt{d}] \) si \( x=a+b\sqrt{d}\in R, \, x\neq 0 \) cu \( (a,b)=1 \). Aratati ca \( x \) este element prim in inelul \( R \) daca si numai daca \( N(x)=|a^2-b^2d| \) este numar prim.

(C. Baetica, GMA 1989)

(Probabil ca rezultatul este cunoscut, dar autorul ei nu avea pe atunci prea multe posibilitati de informare ca sa poata da o referinta. As fi recunoscator celor care ar putea da una acum.)

\( "\Rightarrow" \)
Presupunem ca \( N(x)=|a^2-db^2| \) nu e nr. prim, deci \( N(x)=uv \), \( u,v>1 \). Dar \( x\bar{x}=N(x)=uv\Rightarrow x|u\vee x|v \).
Fie \( x|u \Rightarrow u=zx\Rightarrow u=(z_{1}+z_{2}\sqrt{d})(a+b\sqrt{d}) \) \( \Rightarrow u=z_{1}a+z_{2}bd \) si \( 0=z_{1}b+z_{2}a \); dar \( (a,b)=1 \Rightarrow z_{1}=pa \) si \( z_{2}=-pb, p\in N \) deci \( u=p(a-b\sqrt{d})(a+b\sqrt{d})=pN(x)\geq{N(x)}>u \). Contradictie, deci \( N(x) \) prim.
\( "\Leftarrow" \) Daca \( N(x)=p \), p prim, inseamna ca \( \frac{Z[\sqrt{d}]}{(x)} \) are p elemente, deci este izomorf cu \( Z_{p} \) care este corp \( \Rightarrow \) \( x \) este prim.