mateforum.ro

(i) Studiati monotonia functiei \( f:\[ 0,\pi/2 \]\rightarrow\mathbb{R} \) definita prin \( f(x)=2^{(\sin x)^2}\cdot 3^{(\cos x)^2}+3^{(\sin x)^2}\cdot 2^{(\cos x)^2}, \forall x\in\[ 0,\pi/2\]. \)
(ii) Aratati ca ecuatia \( f(x)=5\sin\(\sin3x\) \) nu are solutii in \( \[0,\pi/2\]. \)

***

\( f(0)=f(\frac{\pi}{2})=5 \)
Se observa ca \( f(x)=f(\frac{\pi}{2}-x) \)
Vom demonstra ca functia este strict crescatoare pe intervalul \( \[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\] \)
Consideram numerele \( x,y \) cu \( x>y \) si demonstram \( f(x)-f(y)>0 \)
Notam \( \sin ^2 x=a \) si \( \cos ^2 x=1-a \) si analog pentru \( y \) cu \( b \)
\( f(x)= 2^a3^{1-a}+2^{1-a}3^a=2^{1-a}3^{1-a}2^{2a-1}3^{2a-1}=6^{1-a}6^{2a-1}=6^a\Longrightarrow f(x)-f(y)=6^a-6^b>0 \) deci functia e crescatoare pe intervalul respectiv.
Rezulta ca functia este strict descrescatoare pe intervalul \( \[ 0,\frac{\pi}{4}\] \) si strict crescatoare pe intervalul \( \[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\] \)
La punctul urmator demonstram ca \( 5\sin (\sin 3x)<f(\frac{\pi}{4})=2\sqrt{6} \)
\( \sin (\sin 3x)<\sin (\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{2\sqrt{6}}{5} \)

mumble wrote: Studiati monotonia functiei \( f:\[ 0,\pi/2 \]\rightarrow\mathbb{R} \) definita prin \( f(x)=2^{(\sin x)^2}\cdot 3^{(\cos x)^2}+3^{(\sin x)^2}\cdot 2^{(\cos x)^2}, \)

\( (\forall )\ x\in\[ 0,\pi/2\] \) . Aratati ca ecuatia \( f(x)=5\sin\(\sin3x\) \) nu are solutii in \( \[0,\pi/2\] \) .

Demonstratie similara celei a lui Dragos Calinescu.

Se observa ca \( f\left(\frac {\pi}{2}-x\right)=f(x)\ ,\ (\forall )\ x\in \left[0,\frac {\pi}{2}\right] \) , adica graficul \( G_f \) al functiei \( f \) este simetric fata de dreapta de ecuatie \( x=\frac {\pi}{4} \)

(paralela cu axa \( Oy \) ). Este suficient sa studiem monotonia restrictiei functiei \( f \) pe intervalul \( \left[0\ ,\ \frac {\pi}{4}\right] \) . Se arata usor ca \( f=w\circ v\circ u \) ,

unde \( \left\|\begin{array}{ccccc}
\left[0\ ,\ \frac {\pi}{4}\right]\stackrel{u}{\longrightarrow}\left[\frac 12\ ,\ 1\right] & \mathrm{\ \ ;\ \ } & \left[\frac 12\ ,\ 1\right]\stackrel{v}{\longrightarrow}\left[\sqrt{\frac 32}\ ,\ \frac 32\right] & \mathrm{\ \ ;\ \ } & \left[\sqrt{\frac 32}\ ,\ \frac 32\right]\stackrel{w}{\longrightarrow}\left[2\sqrt 6\ ,\ 5\right]\\\\\\\\
u(x)=\cos^2x\ \searrow & \mathrm {\ \ ;\ \ } & v(x)=\left(\frac 32\right)^x\ \nearrow & \mathrm{\ \ ;\ \ } & w(x)=2x+\frac 3x\ \nearrow\end{array}\right\| \) . Asadar functia \( f\ :\ \left[0\ ,\ \frac {\pi}{4}\right]\ \rightarrow\ \left[2\sqrt 6\ ,\ 5\right] \)

este strict descrescatoare si surjectiva, adica \( f\left(\left[0\ ,\ \frac {\pi}{4}\right]\right)=\left[2\sqrt 6\ ,\ 5\right] \) . Din simetria mentionata rezulta ca graficul functiei

definite pe \( \left[0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right] \) este strict crescator pe \( \left[\frac {\pi}{4}\ ,\ \frac {\pi}{2}\right] \) iar imaginea acestei functii este aceeasi, adica \( f\left(\left[0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right]\right)=\left[2\sqrt 6\ ,\ 5\right] \) . Insa

pentru orice \( \left(\forall\right)\ x\in \left[0\ ,\ \frac {\pi}{2}\right] \) avem \( -\frac {\pi}{3}<-1\le \sin 3x\le 1<\frac {\pi}{3}\ \Longrightarrow\ 5\cdot\sin(\sin 3x)<\frac {5\sqrt 3}{2}<2\sqrt 6\le f(x) \) , adica ecuatia nu are solutii.

Observatie. Iata un exercitiu vechi (apare si in cartea mea de analiza din Ed. Teora) care l-a "inspirat" pe autorul acestei probleme :

Fie numerele pozitive \( a \) , \( b \) si diferite de \( 1 \) . Consideram functia \( f(x)=a\cdot\left(\frac ba\right)^x+b\cdot\left(\frac ab\right)^x \) , unde \( x\in [0,1] \) . Sa se arate ca :

\( \odot\Longrightarrow\ \) Functia f este strict descrescatoare pe \( \left[0,\frac 12\right] \) si strict crescatoare pe \( \left[\frac 12,1\right] \) .

\( \odot\Longrightarrow\ 2\sqrt {ab}\ \le\ a\cdot\left(\frac ba\right)^x+b\cdot\left(\frac ab\right)^x\ \le\ a+b \) pentru orice \( x\in [0,1] \) .

\( \odot\Longrightarrow\ \left|a\cdot\left(\frac ba\right)^x-b\cdot\left(\frac ab\right)^x\right|\ \le\ |a-b| \) pentru orice \( x\in [0,1] \) .

Pentru \( a:=3 \) , \( b:=2 \) si \( x:=\sin^2x \) se obtine problema propusa la concurs !