mateforum.ro

Fie curba eliptica \( \mathcal{C}:\ y^{2}=x^{3}+c \) unde \( c\in\mathbb{Z} \) si nu exista \( p \) numar prim astfel incat \( p^{6}|c \). Sa se determine punctele de ordin finit de pe curba de mai sus.

Vom folosi urmatoarea
Propozitie. Fie curba eliptica \( C(\mathbb{Q})\ :\ y^2=x^3+ax^2+bx+c=f(x),\ \Delta_f\neq 0,\ p \) un numar prim care nu divide \( 2\Delta_f \).
Fie curba \( C(\mathbb{Z}_p)\ :\ y^2=x^3+\overline{a}x^2+\overline{b}x+\overline{c},\ \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in\mathbb{Z}_p \) si \( \mathcal{M} \) grupul punctelor de ordin finit ale lui \( C(\mathbb{Q}). \)
Atunci \( |\mathcal{M}|\ |\ |C(\mathbb{Z}_p)|. \)
In cazul nostru \( \Delta_f=-27c^2 \). Fie \( p\neq 2 \) un numar prim, \( p\equiv 2\ (mod\ 3) \) si \( p \) nu divide \( c \). Atunci \( p \) nu divide \( 2\Delta_f \) si putem aplica propozitia de mai sus.
Deoarece \( p-1\neq 0\ (mod\ 3) \), aplicatia \( \mathbb{Z}_p\rightarrow\mathbb{Z}_p \), data prin corespondenta \( x\mapsto x^3 \) este bijectiva. In consecinta, pentru fiecare \( y\in\mathbb{Z}_p \) exista un unic \( x\in\mathbb{Z}_p \) a.i. \( x^3=y^2-c. \) Adaugand si punctul de la infinit \( \mathcal{O} \), obtinem \( |C(\mathbb{Z}_p)|=p+1. \)
Vom arata ca \( |\mathcal{M}|\ |\ 6. \)
Din \( |C(\mathbb{Z}_p)|=p+1\Rightarrow |\mathcal{M}|\ |\ p+1. \)
Daca \( d=gcd\{p+1\ |\ p \) este prim, \( p\equiv 2\ (mod\ 3),\ p \) nu divide \( c\} \) vom arata ca \( d=6. \) Fie \( P=\{p\ |\ p \) este prim, \( p\equiv 2\ (mod\ 3),\ p \) nu divide \( c\} \).
Presupunem ca exista un numar prim \( q\neq 2,3 \) a.i. \( q\ |\ d. \) Din lema chineza a resturilor este garantata existenta unui numar intreg \( n>c \) a.i. \( n\equiv 2\ (mod\ 3) \) si \( n\equiv 1\ (mod\ q) \). Din teorema lui Dirichlet privitoare la numerele prime dintr-o progresie aritmetica rezulta ca exista un numar prim \( p^, \) a.i. \( p^,\equiv n\ (mod\ 3q). \) Deoarece \( n>c \), este evident ca \( p^, \) nu divide \( c. \) De asemenea, este usor de vazut ca \( p^,\in P. \) Dar
\( q\ |\ d\ |\ p^,+1\Rightarrow 0\equiv p^,+1\equiv n+1\equiv1+1=2\ (mod\ q)\Rightarrow q\ |\ 2\Rightarrow q=2. \) Aceasta este o contradictie. Avem urmatoarele relatii:
\( 3\ |\ p+1,\ (\forall)\ p\in P\Rightarrow 3\ |\ d\ \ \ (1) \)
\( p\neq 2\Rightarrow 2\ |\ p+1,\ (\forall)\ p\in P\Rightarrow 2\ |\ d\ \ \ (2). \)
Din relatiile \( (1) \) si \( (2) \) rezulta ca \( d=2^{t_1}\cdot 3^{t_2},\ t_1,t_2\geq 1. \)
Presupunem ca \( t_1\geq2\Rightarrow 12\ |\ d. \) Aplicand din nou teorema lui Dirichlet a progresiilor aritmetice, rezulta ca exista un numar prim \( q^,>c \) a.i. \( q^,\equiv 5\ (mod\ 12). \) Este evident ca \( q^, \) nu divide \( c \) si \( q^,\equiv 2\ (mod\ 3). \) Deci, \( q^,\in P. \) Obtinem
\( 12\ |\ d\ |\ q^,+1\Rightarrow 0\equiv q^,+1\equiv 5+1=6\ (mod\ 12). \) Aceasta este din nou o contradictie. Deci, \( t_1=1. \) Analog se arata ca \( t_2=1. \)
Asadar, \( d=6 \) si \( |\mathcal{M}|\ |\ 6. \) Posibilitatile pentru \( \mathcal{M} \) sunt: grupul trivial (format doar din \( \mathcal{O} \)), \( \mathbb{Z}_2,\ \mathbb{Z}_3 \) si \( \mathbb{Z}_6. \)
Avem puncte de ordin 2 daca \( \mathcal{M}\simeq\mathbb{Z}_2 \) sau \( \mathbb{Z}_6. \)
Fie \( P(x,y)\in C(\mathbb{Q}),\ ord P(x,y)=2\Rightarrow y=0\Rightarrow x^3=-c\Rightarrow c=-x^3=(-x)^3. \)
Daca \( ord P(x,y)=3\Rightarrow 2P=-P\Rightarrow P*P=-2P=P. \) Fie \( \lambda=\frac{f^,(x)}{2y}=\frac{3x^2}{2y} \), avem:
\( \lambda^2-a-2x=\lambda^2-2x=(\frac{3x^2}{2y})^2-2x=x\Leftrightarrow 3x=(\frac{3x^2}{2y})^2\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow 9x^4-3x\cdot 4y^2=0\Leftrightarrow 3x(3x^3-4y^2)=0. \)
Daca \( x=0\Rightarrow y^2=c\Rightarrow c \) este patrat.
Daca \( 3x^3=4y^2,\ x\neq 0,\ y\neq 0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll}
x=2x_1\\
y=3y_1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll}
x=12u^2\\
y=36u^3
\end{array} \right. ,\ u\in\mathbb{Z}^* \)
\( \Rightarrow 24 x_1^3=36y_1^2\Rightarrow 2x_1^3=3y_1^2\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll}
x_1=3x_2\\
y_1=2y_2
\end{array} \right. \)
\( \Rightarrow 54x_2^3=12y_2^2\Rightarrow9x_2^3=2y_2^2\Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll}
x_2=2x_3\\
y_2=3y_3
\end{array} \right. \)
\( \Rightarrow 72x_3^3=18y_3^2\Rightarrow 4x_3^3=y_3^2\Rightarrow y_3=2y_4\Rightarrow \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll}
x_3^3=y_4^2\\
x_3\neq 0,\ y_4\neq 0
\end{array} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{ll}
x_3=u^2\\
y_4=u^3
\end{array} \right.,\ u\in\mathbb{Z}^*. \)
Avem deci
\( x=2x_1=6x_2=12x_3=12u^2 \)
\( y=3y_1=6y_2=18y_3=36y_4=36u^3 \)
\( c=y^2-x^3=36^2u^6-12^3u^6 \)
Dar cum nu exista \( p \) prim a.i. \( p^6\ |\ c\Rightarrow u^6=1\Rightarrow c=36^2-12^3=1296-1728=-432. \)
Deci, \( ord P(x,y)=3\Leftrightarrow c= \) patrat sau \( c=-432. \)
Daca \( c=1\Rightarrow \) curba din enunt este curba lui Euler \( \Rightarrow \mathcal{M}\simeq \mathbb{Z}_6. \)
Am gasit astfel urmatoarea caracterizare a grupului \( \mathcal{M} \):
\( \mathcal{M}\simeq\left\{ \begin{array}{llll}
\mathbb{Z}_6\Leftrightarrow c=1\\
\mathbb{Z}_3\Leftrightarrow (c=k^2, c\neq1)\ \textrm{sau}\ c=-432\\
\mathbb{Z}_2\Leftrightarrow c=k^3, c\neq1\\
\mathcal{O},\ \textrm{altfel}
\end{array}, \right. \)
unde \( k\in\mathbb{Z}. \)