mateforum.ro

Fie \( a,b,c \) numere reale pozitive cu \( abc=1. \) Demonstrati ca:

\( 5+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq (1+a)(1+b)(1+c). \)

Aaron Pixton

Este echivalenta cu inegalitatea lui Schur daca facem substitutia \( a=\frac{x}{y}\ ,\ b=\frac{y}{z}\ ,\ c=\frac{z}{x} \).

maxim bogdan wrote:Poate cu Vornicu - Schur.

Chiar te rog sa editezi cele doua inegalitati (cu dem.) si sa mentionezi diferenta dintre ele ... Pai atunci inegalitatii \( \overline{\underline{\left\|\ a^2+b^2+c^2=9\ \Longrightarrow\ 3\cdot \min\{a,b,c\}\ \le\ 1+abc\ \right\|}} \) ce nume i-ai da (dupa ce o rezolvi !) daca a aparut in CRUX semnata de mine si este de departe foarte dificila in comparatie cu usurelele Schur si/sau Vornicu ?!
Chiar crezi ca cele trei inegalitati sunt demne de a purta un nume ?! Nu sunt altceva decat niste "frumusele" probleme propuse ... Aaaa, daca ar fi fost vorba de Karamata sau Muirhead, ar fi fost cu totul altceva.
Si teorema lui Pitagora este "usurica", dar nu uita ca are aprox. 2000 de ani de existenta in matematica.
Sa fim seriosi ! Vorba profesorului Gigel Militaru, aici este "Arici Pogonici" si nu rezultate demne de a purta un nume.

Discutia asta mi-a aduce aminte de Titu Andreescu si Cauchy-Schwartz.

Si nu e niciun Vornicu-Schur (cum zicea domnul bae : "cea mai tare gluma matematica"), e chiar Schur : \( a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \)

Pentru cei care nu stiu ce e Vornicu-Schur aici, postul 9 al lui Darij Grinberg sau aici.

Fie \( a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z} \) si \( c=\frac{z}{x}, \ x,y,z>0. \)

Inegalitatea este echivalenta cu:

\( 3+\displaystyle\sum_{cyc}\frac{yz}{x^2}\geq \displaystyle\sum_{cyc}\frac{y+z}{x}\Longleftrightarrow \displaystyle\sum_{cyc}\frac{1}{x^2}\cdot (x-y)(x-z)\geq 0, \) care rezulta din inegalitatea Vornicu-Schur cazul b). Pentru demonstratie a se vedea aici.

Virgil Nicula wrote:

maxim bogdan wrote:Poate cu Vornicu - Schur.

Chiar te rog sa editezi cele doua inegalitati (cu dem.) si sa mentionezi diferenta dintre ele ... Pai atunci inegalitatii \( \overline{\underline{\left\|\ a^2+b^2+c^2=9\ \Longrightarrow\ 3\cdot \min\{a,b,c\}\ \le\ 1+abc\ \right\|}} \) ce nume i-ai da (dupa ce o rezolvi !) daca a aparut in CRUX semnata de mine si este de departe foarte dificila in comparatie cu usurelele Schur si/sau Vornicu ?!
Chiar crezi ca cele trei inegalitati sunt demne de a purta un nume ?! Nu sunt altceva decat niste "frumusele" probleme propuse ... Aaaa, daca ar fi fost vorba de Karamata sau Muirhead, ar fi fost cu totul altceva.
Si teorema lui Pitagora este "usurica", dar nu uita ca are aprox. 2000 de ani de existenta in matematica.
Sa fim seriosi ! Vorba profesorului Gigel Militaru, aici este "Arici Pogonici" si nu rezultate demne de a purta un nume.

Nu imi asum nici o vina pentru ca inegalitatea poarta un nume care o diferentiaza de cea clasica.

maxim bogdan wrote:Fie \( a=\frac{x}{y}, \ b=\frac{y}{z} \) si \( c=\frac{z}{x}, \ x,y,z>0. \)

Inegalitatea este echivalenta cu:

\( 3+\displaystyle\sum_{cyc}\frac{yz}{x^2}\geq \displaystyle\sum_{cyc}\frac{y+z}{x} \)

\(
\Longleftrightarrow \sum_{cyc}(x^3y^3-x^3y^2z-x^3z^2y+x^2y^2z^2)\geq0 \) , care este Schur pentru \( xy\ ,\ yz\ ,\ zx \)