mateforum.ro

Fie \( f,g,h:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} \) trei functii cu proprietatile :
a) \( f=g-h \);
b) g este functie surjectiva;
c) h e functie injectiva.

Sa se arate ca :

i) h e functie surjectiva;
ii) g e functie injectiva.

C. Evaluare in Educatie, 2009

\( g \) este surjectiva pe \( \mathbb{N} \) deci functia \( f+h \) acopera tot \( \mathbb{N}, \) astfel ca exista \( x_0,x_1,x_2,... \) asa incat \( f(x_0)+h(x_0)=0,f(x_1)+h(x_1)=1,f(x_2)+h(x_2)=2,... \). De aici, tinand cont de injectivitatea lui \( h, \) gasim \( h(x_0)=0,h(x_1)=1,h(x_2)=2,... \). Gasite fiind numerele naturale distincte doua cate doua \( x_k \) cu \( k=1,2,..., n \) pentru care \( h(x_k)=k,f(x_k)=0 \) atunci va rezulta usor din relatia \( f(x_{n+1})+h(x_{n+1})=n+1 \) ca \( h(x_{n+1})=n+1 \) si\( f(x_{n+1})=0. \)
Asta demonstreaza (i), si anume ca \( h \) e surjectiva (deci bijectiva).
Daca prin absurd exista \( m\neq n \) cu \( g(m)=g(n) \) atunci \( f(m)+h(m)=k=f(n)+h(n)\Rightarrow m=n=x_k, \) ceea ce constituie desigur o contradictie. Deci \( g \) este injectiva (si deci bijectiva).

Remarca. Esential in problema fost faptul ca domeniul si codomeniul functiilor este \( \mathbb{N}. \)