mateforum.ro

Fie \( a,b,c>0 \) . Sa se demonstreze ca :

\( \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}\ge \frac{3}{ab+bc+ca} \)

Din inegalitatea Cauchy-Schwarz reaulta:
\( \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}\geq\frac{(1+1+1)^2}{\sum{a^2-ab+b^2}}=\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)} \).
Mai ramane de demonstrat ca \( \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}=\frac{9}{3(ab+bc+ca)}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\leq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\leq 4(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2(ab+bc+ca) \), inegalitate care se mai poate scrie sub forma \( \sum{a^2-2ab+b^2}\leq a^2+b^2+c^2 \), adevarat deoarece \( \sum{(a-b)^2\leq \sum{a^2}} \), de unde rezulta ca inegalitatea din enunt este verificata.

E gresit. De fapt \( 2(ab+bc+ca)\geq a^2+b^2+c^2 \Longleftrightarrow \sqrt{a},\sqrt{b}, \sqrt{c} \) pot fi lungimile laturilor unui triunghi.