mateforum.ro

Fie \( A, B\in M_{n}(\mathbb{C}) \) doua matrice si polinomul \( f(x)=\det(A+xB) \). Sa se arate ca gradul polinomului \( f \) este mai mic sau egal ca rangul matricei \( B \).

Notam cu \( I_n(k) \) matricea din \( M_n(\mathbb{C}) \) care are primele \( k \) elemente de pe diagonala principala egale cu \( 1 \) si \( 0 \) in rest. Fie \( rang B=k \). Atunci exista \( P,Q \in M_n(\mathbb{C}) \) inversabile, astfel incat \( B=PI_n(k)Q \Rightarrow f(x)= \det (A+xPI_n(k)Q)\Rightarrow \) \( f(x)=\det(P)\det(Q)\det(P^{-1}AQ^{-1}+xI_n(k)) \). Notam \( C=P^{-1}AQ^{-1}\Rightarrow f(x)=\det(PQ)\det(C+xI_n(k)) \). Singurele elemente ale matricei \( C+xI_n(k) \) care il contin pe \( x \) se afla pe primele \( k \) pozitii de pe diagonala principala, deci in dezvoltarea determinantului matricei \( C+xI_n(k) \) produsele care il contin pe\( x \) nu pot avea grad mai mare decat \( k\Rightarrow grad f\leq rang B \).