mateforum.ro

Fie \( a\in{(0,1)} \) , \( b\in{R} \) si functia \( f:R \longrightarrow R \) cu proprietatile :
1) \( f \) este \( a \)-contractie;
2) \( f(f(x)-x)=b(f(x)-x) \) , \( \forall x\in{R} \).
Aratati ca \( f(x)=bx \) \( \forall x\in{R} \).

M. Opincariu, G.M.B. 2008

Se folosesc :

1) Principiul Contractiilor: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci exista si este unic un punct fix pentru f.

2) Propozitia: Daca \( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \) este o contractie, adica exista \( a\in (0,1) \) astfel incat \( |f(x)-f(y)|\le a|x-y| \) pentru orice x si y, atunci functia \( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=f(x)-x \) este surjectiva.