mateforum.ro

Daca \( M \) este un punct in interiorul triunghiului \( ABC \) , aratati ca \( \frac{MA}{BC}+\frac{MB}{AC}+\frac{MC}{AB}\geq\sqrt3 \)

Nu inteleg, de ce este chiar asa hard inegalitatea asta?
Pe scurt, notam \( \frac{MA}{BC}=x, \frac{MB}{CA}=y \) si \( \frac{MC}{AB}=z \) si astfel trebuie sa demonstram ca \( x+y+z\geq\sqrt{3} \). Din inegalitatea clasica \( (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx) \), daca am demonstra ca \( xy+yz+zx\geq 1 \), totul s-ar termina. Pentru aceasta ultima inegalitate nu este nevoie decat sa scriem afixele varfurilor triunghiului \( ABC \) si al lui \( P \). Fixam afixele \( A(a), B(b), C(c) \) si \( P(0) \) si mai departe dupa ce scriem inegalitatea \( xy+yz+zx\geq 1 \) in functie de numerele complexe \( a, b, c \) este nevoie doar de inegalitatea triunghiului. \( \qed \)